数学竞赛每日一练 第15期解答

是一个素数，证明：不定方程

证明 时，由枚举法知结论显然成立．

为奇素数时，由费马小定理知

而，故，，，或，由奇偶性可排除，，又注意到

故必有．

且由可知．设，则

其中． 注意到，故

由费马小定理知，即．

最后只需证明不定方程没有正整数解．（由费马大定理显然……）

注意到一个整数的次方模的余数为或（为当且仅当这个数是的倍数），故，中必有一个数为，不妨设，由知，，而易知，矛盾． 综上所述，原方程无正整数解．