2026年ELMO

第一天

考试时间：2026 年6 月13 日美国东部时间12:30–17:00

考试时长：4 小时30 分钟

每题分值：7 分

题1.设是圆上三个互不相同的点．对所有满足的正整数，定义点为点关于直线的对称点．求证：直线与圆相切．

题2.定义阶拉丁方阵：一个方格表，每个格子填入到中的一个正整数，使得每行、每列都恰好包含到各一次．

称四个数构成的四元组是稳定的：若这四个数中恰好有 个或恰好有 个互不相同的数值．

求所有正整数 ，使得存在一个 阶拉丁方阵，满足：任意四个不同格子构成网格矩形的四个角时，这四个格子内的数字都构成稳定四元组．

题3.求所有整数，使得存在整系数多项式，其次数不超过，且满足：在模下的值域与在模下的零点集合完全相等．

补充定义：
（1）模的值域：所有满足，且存在正整数使得的整数构成的集合；
(2)模的零点集：所有满足，且的整数构成的集合．

第二天

考试时间：2026 年6 月18 日美国东部时间12:00–16:30

考试时长：4小时30分钟

每题分值：7 分

题4.对整数 ，记 为 的正约数个数．对每个正整数 ，定义集合

若两个正整数 满足 ，求证：对任意正整数 ，均有 ．

注：两个集合相等，当且仅当一个集合中的每个元素都属于另一个集合．

题5.记 为全体正整数构成的集合．求所有函数 ，使得对任意正整数 ，均满足

题6.给定正整数 ．在一个圆周上选取 个点，将每个点染为 种颜色之一，且每种颜色恰好出现 次．

埃尔莫希望选出 条互不重叠的圆弧，满足：
(1)每条圆弧的两个端点均为所选点，且两点同色；
(2)这 条圆弧各自对应的颜色互不相同．

求证：埃尔莫至少有 种不同的选取方案．