2026年东南数学奥林匹克高一组P8一个非常自然的构造方式

题目

设 为五个正整数，其中 ．证明不定方程组

有无穷多组解．

1. 改写两个方程

把 移到左边，原方程组等价于

以及

因此，需要安排两组数 与 ，使它们的差和倒数差能够同时配合．

先考察符号．若两个倒数差都为正，则 、，从而

这与 矛盾．

于是考虑一正一负的情形，取

此时

而差 与 也恰好一负一正．

2. 先构造第一组

设 ，并让 含有同一个正整数因子 ：

则

若取

分子与公共因子约去，得到

并且

与此同时，

3. 再构造第二组

第二个倒数差需要为负．取 ，设

则

取

便得到

以及

差为

因此，对任意正整数

可以先取

4. 把两个原方程化成关于 的条件

倒数差之和为

故

另一方面，

所以 需要满足

即

5. 选取一个较容易处理的情况

记

上式变为

先考察 的情形．写成

其中 为正整数．由于 ，于是

代入条件

得到

约去 ，可得

即

6. 解出整数比例

令

取这个比例的一组最简正整数解：

再记

计算得

以及

当 时，

此时

且

于是定义

7. 验证两个方程

首先，

因为 ．

同理，

因为 ．

所以

因此

再验证和式．由

以及

得到

而

且

因此

由

可得

故

即

8. 写出参数公式

将 代入，可得

其中

9. 验证

由 是最简比例，得到

若正整数 且 ，则

因此

故

若 且 ，则

所以 ，从而

再由

可得

以及

因此 中的任一数都与 中的任一数互素．于是

10. 验证所得解有无穷多组

因为

所以

特别地，

因此

所以随 变化，所得五元组中有无穷多组互不相同．原方程组有无穷多组正整数解．

11. 一个具体例子

取 ，则

并且

于是

直接验证：

并且

因此这确实是题目所要求的一组解．