基于柯西不等式的一种代换方法

我们先看一道柯西不等式的入门题目：

题目1:

设()为正整数，、为给定的实数，实数，，，满足

则当时，不存在；
当时，；
当时，满足

其中为二次方程的判别式．

分析：

把和移到等式右边，对和使用柯西不等式即可．

同理可得到，，的范围．

现在我们知道，对和与平方和确定的一组数，我们可以求出其中每一个数的范围，由此进一步地去分析不等式．

很多时候要证明的不等式并不会给出和的值，此时我们往往可以利用齐次性，设，再由

得到．

下面我们考虑：怎样设的值，能起到简化问题的作用．

一个自然的想法是，让题目1中的是个完全平方式，当然同时还要满足这一条件．

为满足要求，可设，即，再由可得，这是一个非常好的范围．

此时，，代入题目1可得

方法总结：

对出现了和的齐次不等式（要求），可不妨设，并设，其中．

由此可得，对，有

下面我们用这个代换方法来解决一道不等式：

题目2:

设，，，，为正实数，且和为．证明：

证明：

由齐次性不妨设，设，其中．

由此可得，对，有

原不等式等价于

（此时，问题转变成了求的最小值（和有关），由于每个都有范围限制，猜测最小值在某个为端点值时取得。事实上，这和不等式中的EV定理有关，这里不展开说明）

注意到，，，中，一个取得时，题目1证明过程中的柯西不等式恰好取得等号，于是另外个数的值相等，均为．由此构造局部不等式：

求和得：

于是

（注：即为上面所说的取等条件，一个为，另外个为．） 因此，只需证明：

由知，结论成立．

本题也有一个恒等变形的方法，供读者参考．

利用一样的方法，读者可以自己完成下面两题：

题目3：

设，，，是正实数，证明：

题目4：

设，，，是正实数，证明：