2026年德国数学奥林匹克

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第一天

题1. 求所有正整数，使得以下组合数均为奇数：

题2. 给定正整数 满足．考虑全体非负整数：初始时仅有和被染为红色，其余所有数均为白色．我们按照以下规则逐步对数字进行染色操作，每一步流程如下：
(1)统计当前红色数字的数量．若红色数字不超过1个，则过程终止．
(2)否则，记为当前最小的红色数字，将数字染为黑色．
(3)随后考察与两个数：

• 若该数为红色，则将其染为黑色；
• 若该数为白色，则将其染为红色；
• 若该数已为黑色，则保持黑色不变．

证明：
(1)无论 取何值，该过程必然在有限步内终止，且终止时恰好剩下一个红色数字 ．
(2)终止时的唯一红色数字满足 ．

题3. 设为一个三角形的三边长．求最大的正整数，使得对任意满足条件的，都有

第二天

题4. 已知数列 的前两项 为整数，从第3项起，数列由如下递推公式定义：

求出所有能使该数列为最终周期数列的初值 ，并分别求出对应情形下的最小正周期．

题5. 给定素数 与正整数 ，．令．求证：．

题6. 设圆 与圆相交，为两圆的其中一个交点．作直线平行于两圆的一条公切线，且位于远离点的一侧．直线与圆交于、两点，与圆交于、两点，且四点在直线上按的顺序排列． 记直线与的角平分线的交点为，与的角平分线的交点为． 求证：的外接圆、的外接圆，以及的角平分线，三者存在一个异于点的公共点．