第一天

1. 方程组

有多少组实数解？

2. Anselmo和Claudio在一个装有水果的盒子里玩游戏．盒子里开始有个水果，从Anselmo开始，两人轮流从盒子里拿出水果．每次能拿出、、个水果，或拿走盒子中剩余水果的（只有盒子中所剩水果数为的倍数时才可以选择）．拿走最后一个水果的人获胜．问：谁有必胜策略？要怎样才能保证获胜？

3. 正整数和满足能被整除．
   (a)求出一组满足题意的整数和，且满足．
   (b)证明：为完全平方数．

第二天

4. 方程

有多少组整数解？

5. 半径分别为、的两个圆外切．此外，它们都内切于一个半径为的半圆．（如图所示）
   
   (a)设两圆和半圆的直径切于、两点，求．
   (b)求证：．

6. 一串项链上有颗珍珠，每颗均为黑、绿、黄三色之一．每个时刻，按照如下规则改变每颗珍珠的颜色：
   (1)如果某颗珍珠边上的两颗珍珠颜色相同，则它的颜色变为这种相同的颜色；
   (2)如果某颗珍珠边上的两颗珍珠颜色不同，则它的颜色变为与它们均不同的第三种颜色．
   (a)如果起初一半的珍珠是黑色的，另一半是绿色的，是否存在某种颜色分布情况，使得最后所有珍珠都变为黄色？
   (b)如果起初颗珍珠是黑色的，其余颗是绿色的，是否存在某种颜色分布情况，使得最后所有珍珠都变为黄色？