一道计数小题的分析

2021年北京大学优秀中学生暑假学堂数学测试的第一题如下：

求集合的非空子集中元素和为的倍数的集合个数．

这是一道很陈的题了，例如2013年的一道天津高联预赛题就几乎一样：

如果集合的某个非空子集中所有元素之和是的倍数，则称该子集为忐忑子集，那么，忐忑子集的个数是_____．

这类问题一般能够使用生成函数进行求解．

考虑多项式

我们来研究展开式的组合意义．

事实上，展开式中每一项的次数均是由若干个不同的相乘产生的，从而的系数就是和为的子集个数．

于是在本题中，我们只需求的展开式中，次数为的倍数的所有项的系数之和．容易联想到一类初中的多项式题目(以下题为例)：

已知，求的值．

本题求解关键在于将次数按奇偶分成两组分别求和，于是可以赋值和．

那么回到原题，怎样的赋值能将次数为的倍数的项选取出来呢？容易想到赋值为，，(为三次单位根)，解答如下：

设．则

三式相加，结合得：

即

注意到本题要求的为非空子集个数，故答案为：