用极坐标解答一道圆锥曲线题

近日，有学生问了我一道题：

、在椭圆上，且过椭圆左焦点，过、作椭圆切线交于点．若，求椭圆离心率的取值范围．

这题答案一看就是一个高次方程的根，不过计算也不太复杂，所以我就写了一下．

引理1：

点在椭圆的左准线上．

引理1的证明：

由配极原理显然．

以左焦点为极点，轴正方向为极轴，建立极坐标系．设椭圆的离心率为，焦准距为，则椭圆的极坐标方程为．不妨设在极轴上方，的极坐标为 ，则．由此可得以下引理2和引理3．

引理2：

焦点弦长公式：．

引理2的证明：

引理3：

椭圆切线斜率公式：．

引理3的证明：

取即可．

回到原题：

点到左准线距离

于是

设，则

由，知，，故

此方程在上有解．

设，则

即，结合知：

此时，对称轴，且

而

显然成立．

故．

于是对称轴在上，故时，在上必有一根．

本题答案为．

下图为取得最小值时，的情况：

注：

引理3是个很有用的结论，可以直接推出圆锥曲线的光学性质等一系列和切线有关的结论，读者可以自行证明．