2024年英国数学奥林匹克（第二轮）
公众号原标题：2024年英国数学奥林匹克（第二轮）——中文翻译
英文原文：
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2024年英国数学奥林匹克（第二轮）
程国根 译
1. 将$\dfrac{10}{13}=0.7692307692\cdots$的十进制表示中，小数点后的前$n$位所构成的整数组成一个数列$$7,76,769,7692,76923,769230,\cdots.$$求证：在数列的前$60$项中，至少有$49$项有三个及以上的素因子．（包含重复的素因子，例如$76=2\times 2\times 19$有三个素因子．）
2. 求所有函数$f$：$\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$，使得对任意整数$n$，都有$$2f(f(n))=5f(n)-2n.$$
3. 在锐角三角形$ABC$中，$AB>AC$．$\triangle ABC$的外接圆在点$B$和点$C$处的切线交于点$P$．一条同时过$PB$和$PC$中点的直线与$AB,AC$分别交于点$X,Y$．求证：$A,X,P,Y$四点共圆．
4. 设正整数$m<n$．起初一共有$n$堆石子，每堆有$m$块石子．重复执行以下操作：选择两堆石子，从这两堆中移除共$n$块石子．对于怎样的$(m,n)$，可以移除所有石子？
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\section*{2024年英国数学奥林匹克（第二轮）}\flushright 程国根\quad 译\ex 将$\dfrac{10}{13}=0.7692307692\cdots$的十进制表示中，小数点后的前$n$位所构成的整数组成一个数列$$7,76,769,7692,76923,769230,\cdots.$$求证：在数列的前$60$项中，至少有$49$项有三个及以上的素因子．（包含重复的素因子，例如$76=2\times 2\times 19$有三个素因子．）\vfill\ex 求所有函数$f$：$\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$，使得对任意整数$n$，都有$$2f(f(n))=5f(n)-2n.$$\vfill\ex 在锐角三角形$ABC$中，$AB>AC$．$\triangle ABC$的外接圆在点$B$和点$C$处的切线交于点$P$．一条同时过$PB$和$PC$中点的直线与$AB,AC$分别交于点$X,Y$．求证：$A,X,P,Y$四点共圆．\vfill\ex 设正整数$m<n$．起初一共有$n$堆石子，每堆有$m$块石子．重复执行以下操作：选择两堆石子，从这两堆中移除共$n$块石子．对于怎样的$(m,n)$，可以移除所有石子？\vfill
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