2026 年中秋｜时间均为北京时间（UTC+8），月相时刻取到分钟．

今年中秋是 9 月 25 日，八月十五．满月却在 9 月 27 日 0 时 49 分，已经是八月十七．

满月只比 26 日结束的午夜晚了 49 分钟．若再早 49 分钟，它就退回 26 日，成了“十六圆”；早 49 分钟整，它落在 27 日 0 时 00 分，仍算十七．今年就压在十七这一边．

先看农历的日子是怎么数的．

十七是数出来的

新月称朔，满月称望．农历以朔落在的那一天为初一，初一自零时起算．

设朔发生在初一上午 11 时 27 分．这一日已经过了 11 小时余，而月龄仍自零起算：月龄指从朔起经过的时间，与钟点无关．

以初一零时为原点，时间以天为单位．记朔在初一零时之后 $u$ 天，自朔至望又经过 $\Delta$ 天．朔必落在初一之内，故

$$0\le u<1$$

到望时，初一零时之后已过 $u+\Delta$ 天．日序自初一计起，满月所在的日序 $n$ 为

$$n=1+\lfloor u+\Delta\rfloor \tag{1}$$

$\lfloor x\rfloor$ 是向下取整，只计完整经过的天数．加 1 是因为过零整天仍是初一，过满一整天才是初二．

把 (1) 反过来写：满月落在第 $k$ 天，等价于

$$k-1-\Delta\le u<k-\Delta \tag{2}$$

$\Delta$ 定时，日序只由 $u$ 落在哪个长度为 1 的区间决定．

十七圆的充要条件是 $16\le u+\Delta<17$，即

$$u\ge 16-\Delta \tag{3}$$

注意到上界 $u<17-\Delta$ 恒成立：由 $u<1$ 且 $\Delta<16$ 即得．于是要问十七圆，只要问初一这一天的朔够不够晚，(3) 就是这个条件．

除以 2 得不出十七

先考虑最简单的情形：日月之间的相对角度匀速变化．朔望月平均 29.5306 天，半个周期即

$$\Delta_0=\frac{29.5306}{2}=14.7653 \tag{4}$$

即 14 天 18 小时 22 分．代入 $0\le u<1$，无论朔在初一几点，总有

$$14.7653\le u+\Delta_0<15.7653$$

取整加 1，故 $n\in\{15,16\}$．匀速的假设允许十五圆和十六圆，给不出十七．

但它足以解释那句俗语．设朔发生的时刻在一天之内均匀分布，由 (2) 反解得

十六只要 $u\ge 15-\Delta_0\approx0.235$，占去全天的七成半．十六比十五多，这就是“十五的月亮十六圆”的来处．

一般地，由 (2)(3) 得

$$P(n=17)=\max(0,\ \Delta-15) \tag{5}$$

因 $u<1$，$\Delta\le 15$ 时十七圆的概率为零：$\Delta$ 不越过 15 天，十七圆无从谈起．实际的朔到望间隔在 13.90 天与 15.61 天之间浮动，15 天落在其中偏上的位置，故十七圆少见．2001 至 2100 年的 100 次中秋月中，十六圆 48 次，十五圆 38 次，十七圆 14 次，十四圆 0 次．

常见的说法是“29.53 不是整数，所以凑不出十七”，这并不成立．取整只决定日序取 15 还是 16，而这两个值本来都能取到．会变的是 $\Delta$：(4) 把 $\Delta$ 钉死在 14.7653，$\Delta$ 一变，(2) 的区间整体平移，(5) 才有正值．

月亮走得不匀

朔、望由日月的地心视黄经差定义：两者相同为朔，相差 180° 为望．记月球与太阳的地心视黄经为 $\lambda_M(t)$ 与 $\lambda_S(t)$，其差

$$\theta(t)=\lambda_M(t)-\lambda_S(t) \tag{6}$$

即月相角．角度连续展开，越过 360° 不归零．取朔在 $t_0$、望在 $t_1$，令 $\theta(t_0)=0$，则望的定义为

$$\theta(t_1)-\theta(t_0)=\pi \tag{7}$$

相对角速度

$$\omega(t)=\frac{d\theta}{dt}=\frac{d\lambda_M}{dt}-\frac{d\lambda_S}{dt} \tag{8}$$

自朔至望，各段时间转过的角度之和恰为半圈：

$$\int_{t_0}^{t_1}\omega(t)\,dt=\pi \tag{9}$$

两端除以用时，得这一段的平均相对角速度 $\bar\omega=\pi/\Delta$，即

$$\Delta=\frac{\pi}{\bar\omega} \tag{10}$$

半圈的角度 $\pi$ 固定，故 $\Delta$ 只由这一段的平均相对角速度决定：$\bar\omega$ 变小，$\Delta$ 变长．$\omega$ 为常数时，可以用半圈除以角速度；$\omega$ 变化时，角度走了一半，时间未必走了一半．(4) 之所以不成立，原因就在这里．

不均匀的一部分来自椭圆轨道．我们先把地月运动简化为二体问题，开普勒第二定律给出地月连线在相等时间扫过相等面积．记地月距离为 $r$，月球在轨道平面内、自近地点方向量起的角度为 $\nu$，则

$$r^2\frac{d\nu}{dt}=h,\qquad \frac{d\nu}{dt}=\frac{h}{r^2} \tag{11}$$

$h$ 是常数．距离在分母且取平方：近则快，远则慢．记半长轴 $a$、偏心率 $e$，近地点与远地点距离分别为 $a(1-e)$ 与 $a(1+e)$．由 (11) 两式相除，距离消去：

$$\frac{\dot\nu_{\text{近}}}{\dot\nu_{\text{远}}}=\left(\frac{1+e}{1-e}\right)^2 \tag{12}$$

取月球轨道 $e\approx0.0549$，得 1.246，近地点比远地点快约 25%．$e$ 增至 0.1 时该值为 1.494．

要注意 $\dot\nu$ 是轨道角速度，不是 (8) 的相对角速度 $\omega$，两者还差太阳方向的变化这一项；真实轨道也不是一条固定不变的椭圆．(11)(12) 只回答快慢从哪来．

今年慢了 19 小时

历表给出的这一轮是：朔在 9 月 11 日 11 时 27 分，望在 9 月 27 日 0 时 49 分．以分钟计，

$$\Delta=15\times1440+13\times60+22=22402$$

即 15 天 13 小时 22 分，也就是 15.556944 天．与 (4) 相比

$$\Delta-\Delta_0=0.791644\ \text{天}=19.00\ \text{小时}$$

比半个平均朔望月多了 19 小时．由 (10)，

$$\bar\omega=\frac{180°}{15.556944}=11.5704$$

单位为度每天．平均周期模型给出 $\omega_0=360°/29.5306=12.1907$，单位相同，前者低 5.09%．两个平均角速度之比就是两段时间之比的反比：

$$\frac{\bar\omega}{\omega_0}=\frac{\Delta_0}{\Delta}=\frac{14.7653}{15.5569}=0.9491$$

历表还给出下一次朔在 10 月 10 日 23 时 50 分．这一轮月相被望切成两段：

两段的黄经差同为 180°，用时差 38 小时 21 分，平均角速度差 11.4%．两段相加

$$22402+20101=42503\ \text{分}=29\ \text{天}\ 12\ \text{时}\ 23\ \text{分}$$

这一轮朔望月为 29.515972 天，比 29.5306 天短 21 分钟．整轮偏短，前半段却比一半长近 19 小时．所以即便把这一轮的朔望月量得很准，也不能除以 2 去求满月时刻：前半段和后段本来就差 38 小时．

越过午夜的那 49 分钟

9 月 11 日为八月初一，朔在当日 11 时 27 分，故

$$u=\frac{11\times60+27}{1440}=\frac{687}{1440}=0.477083$$

自初一零时至望

$$u+\Delta=\frac{687+22402}{1440}=\frac{23089}{1440}=16+\frac{49}{1440}$$

$23089=16\times1440+49$．代入 (1)

$$n=1+\left\lfloor 16+\frac{49}{1440}\right\rfloor=1+16=17$$

余量即 49 分钟．由 (3)，今年要够到十七，$u$ 至少为

$$16-\Delta=0.443056=10\ \text{时}\ 38\ \text{分}$$

实际 $u$ 为 11 时 27 分，多出的就是那 49 分钟．等价地，$\Delta_{\text{临界}}=16-u=15\ \text{天}\ 12\ \text{时}\ 33\ \text{分}$，实际为 15 天 13 小时 22 分．

注意到 27 日 0 时 00 分仍属十七．望早到 49 分钟以上，就退回二十六日，成为十六圆；早 49 分钟整时，望在 27 日 0 时 00 分，仍是十七．今年多出的这 49 分钟，刚好把它留在十七这一边．

三晚都看着圆

事实上，望只是一个时刻，月亮却能连着几晚看着圆．我们不妨把月球近似为球体，并忽略月食．设 $\alpha$ 为日—月—地夹角，顶点在月球．平行光照明、远距离观察时，视圆盘被照亮的面积比例为

$$f=\frac{1+\cos\alpha}{2} \tag{13}$$

由面积相加可得．视圆盘半径 $R$，面积 $\pi R^2$；明暗界线是大圆，投影为以 $R$ 与 $R\cos\alpha$ 为半轴的半椭圆；受照面积为半圆加此半椭圆，故

$$f=\frac{\frac12\pi R^2+\frac12\pi R^2\cos\alpha}{\pi R^2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}$$

$\alpha=90°$ 时 $f=1/2$，即上弦月．

$\alpha$ 很小时，用弧度展开 $\cos\alpha=1-\frac{\alpha^2}{2}+\frac{\alpha^4}{24}-\cdots$，得

$$1-f=\frac{\alpha^2}{4}-\frac{\alpha^4}{48}+O(\alpha^6) \tag{14}$$

无一次项：$\alpha$ 减半，缺掉的面积约为四分之一．$\alpha=10°$ 时首项给出 0.7615%，加次项为 0.7596%，与 (13) 的 99.2404% 相符．

望附近有 $\alpha\approx\bar\omega(t_1-t)$，代入 (14) 的平方项

$$1-f\approx\frac{\bar\omega^2}{4}(t_1-t)^2 \tag{15}$$

取 $\bar\omega=0.21277$ 弧度每天，系数为 0.01132．偏离望 1 天，月面缺约 1.1%；偏离 2 天，缺约 4.5%．缺到 1% 需 $\alpha\approx0.2$ 弧度，约 11.5°，相当于偏离望 0.94 天．

以 21 时计

三夜相差不到 1.5 个百分点，肉眼难分．十六夜离望最近，故最圆；十五夜已过 98%，细看或不觉得圆满；十七夜离望已十几小时，反而略逊于十六．

所以今年赏月，二十六日天黑后就可以出门，不必守到 27 日 0 时 49 分．

说明：本文以日月地心视黄经差 180° 定义“望”．(1)–(5) 是取整与计时，(6)–(12) 是角度与角速度，(13)–(15) 是照明几何，分别用来确定农历日序、解释朔望间隔的长短、估算月面外观，均不代替精密天文历表．文中时刻按世界时换算为北京时间，已与两份独立历表核对；朔望间隔的浮动区间与百年中秋月圆统计取自公开天文资料．(14) 略去 $\alpha^6$ 及其后各项，(15) 另用了望附近的线性近似，故表中 $f$ 是估算值，不是实测亮度．

从 355/113 出发

若以尺规作图为出发点，首先要选定一个可作的目标长度。

尺规可构造数一定是代数数，而 是超越数，因此 不能被尺规精确作出。一个自然的办法，是先取优良的有理逼近 ，再作出 。

是 的连分数收敛分数；紧随其后的部分商 很大，所以它的逼近精度格外高。事实上，

于是，把 作为尺规目标十分合适。

令

这个恒等式给出了构图的次序：先作 ，再作 ；分别完成一次平方减法和平方加法；最后乘 ，并取两段长度之比。

一、作出母长度

由

可先取 为共同基准。

作半径为 的圆，取直径 ，圆心为 ；在 上取 ，使 。过 作 的垂线交圆于 ，则 。

再以 为圆心、为半径作圆，与原圆交于 。因为 是直径，

故 。

二、作出与

有了 ，接下来只需作两个有理倍数。

由于 是 的中点，过 作 的平行线交 于 ，由相似三角形得

所以 。

又因为 ，有 。过 作 的平行线交 于 ，则

点 在这里恰好兼顾了根式构造和分点比例。

三、分别构造两个根式

现在需要作出

在原圆上取 ，使 。由于 是直径，，故

再在 点作圆的切线，并在切线上截取 。由 ，有

四、完成最后的比例合成

此时

还需补上因子 。

取 的中点 ，则 。在 上截取 ，连接 ，过 作 的平行线交 于 。

由 ，

至此，完整构型得到，这就是今年高中数学联赛B卷的几何题。

原题

如图，设 是半径为 的圆 的直径，点 是线段 的中点，线段 上的点 满足 。圆周上的点 满足 ，且 。

弦 上的点 满足 。圆周上的点 满足 。直线 是圆的切线且 。弦 上的点 满足 ，线段 上的点 满足 。

证明

思路分析

若从题面正向求解，最直接的入口在最后一组平行线。

由 可得 ，于是

而 ，所以问题归结为求 与 。

这两段长度分别来自两个直角三角形。在以 为直径的圆上，故

是 点切线，故

题设又把 分别转成 ，因此只需回到弦 上求出这两段分点长度。

最后利用 ，可由 的相似关系得到

而 由最前面的单位圆数据确定：给出 ，再由 和 得 。

因此整条长度链为

完整过程

圆半径为 ，故 。由 得 。

在直角三角形 中，

又 ，故 。由于 是直径，，从而

由 得 。又因 且 ，有 ，故 。于是

点 在以 为直径的圆上，所以

而 是圆在 点的切线，故 ，于是

又因 是 的中点，

由 ，，故

证毕。

总结

从命题角度看，先决定两个勾股关系和共有的 ，的比例继而确定 的位置，中点 再补上最后的 。

整张图正是把这串代数关系逐项翻译成圆、平行线、切线和相似三角形。