第 12 期

已知数列满足，

求满足不等式的正整数的个数．

解答 由数列的定义可知，．假设对某个整数有，我们证明对，有

对归纳证明．

当时，由于，由定义，

结论成立．

设结论对某个成立，则由定义

即结论对也成立．由数学归纳法知，结论对所有成立，特别当时，由，从而

若将所有满足的正整数从小到大记为，，，则由上面的结论可知，，，．由此可知，

从而

由于

于是，对每个，，，，中恰有一半满足．由于与均为奇数，而在，，中，奇数均满足，偶数均满足，其中的偶数比奇数少个．因此满足的正整数的个数为