Mason-Stothers定理解一道中科大强基试题

2021年中国科技大学的最后一题如下：

题目 ，，为实系数多项式，且两两互素．若

求证：或．

这可以看成是费马大定理在多项式中的情况．

我们可以用Mason-Stothers定理来解决这道题．(摘自《高等代数》郭学军)

对任意的多项式，我们用表示的互不相同的根的个数，即如果有重根的话，则不考虑其重数，都只记一次．

Mason-Stothers定理 假设，，是个互素的多项式，而且．那么

证明 令，，则．两边求导可得．所以

即

假设

则

记

则，且和均为多项式．

又因为，所以，的次数均不大于．所以

回到原题，对，，使用Mason-Stothers定理，注意到

有

即

由此得到．

时是平凡的；
时，注意到

证毕．

注：更一般地，方程有两两互素地多项式解，但且仅当满足下面某个形式：