一道清华强基不等式问题的解答和推广

2021年清华大学强基考试的第7题如下：

题目1 已知，，求

先进行因式分解：

齐次化后变为如下问题：

题目2 已知，求最小的正实数，使得不等式

首先对，，进行排序，从而去掉绝对值符号．由不等式的对称性可不妨设．

另外可以注意到，在上述不等式中，如果将，，同时减去一个不大于的非负数，不等式的左边不变，右边不增．所得的新不等式比原不等式更强．

于是可将，，替换成，，，再将，视作整体．（事实上，这样的操作等同于令）此时不等式变为

再进行齐次化，设（不等式显然成立），可得：

即求最小的正实数，使得对任意恒成立．

设，则．由于

于是在递增，在递减．即

由此可知的最小值为．

故原题的答案也为．

此方法在问题复杂时能起到更显著的效果．如下题：

题目3 已知，求最大的正实数，使得不等式

分析 仿照之前，先令，，可得

故要考虑的极值．

由于，极值点为，验证即得，此时．

详细解答过程如下：

解答 不妨设，当，，时，有．下证：

注意到

即

由均值不等式：

证毕．

练习1 已知，求最大的正实数，使得不等式

练习2 已知，求最大的正实数，使得不等式

练习3 已知，求最大的正实数，使得不等式