2024年广州市增城区高联预赛试题

\section*{2024年广州市中学生数学与科学联赛（数学）活动}\section*{增城区预赛一试试题}\subsection*{一、填空题（每题7分，共70分）}\ex 在复数范围内方程$x^{2}-4x+5=0$的两根为$\alpha,\beta$，则$|\alpha|+|\beta|=$\mtk{}．\ex 方程$\lg(\sqrt{3}\sin x)=\lg(-\cos x)$的解集为\mtk{}．\ex 正整数集合$A_{k}$的最小元素为$1$，最大元素为$2007$，并且各元素可以从小到大排成一个公差为$k$的等差数列，则集合$A_{17}\cup A_{59}$中的元素个数为\mtk{}．\ex 已知正三棱锥$P-ABC$底面边长为$1$，高为$\sqrt{2}$，则其内切球半径为\mtk{}．\ex 已知函数$f(x)=\log_{a}\left(\frac{1}{2}ax^{2}-x+\frac{1}{x}\right)$在区间$[2,3]$上恒正，则实数$a$的取值范围为\mtk{}．\ex 设$S$是不等式$\left|x-\frac{1}{2}\right|\le 3$的解集，整数$m,n\in S$，若$\vv{p}=(m,n)$，$\vv{q}=(-1,2)$，则$\vv{p}\perp\vv{q}$的概率为\mtk{}，设$\xi=m^{2}$，则其数学期望$E(\xi)$为\mtk{}．\ex 实数$x,y$满足$3x^{2}+2y^{2}\le 6$，则$2x+3y$的最大值是\mtk{}．\ex 实数$x,y$满足$x|x|+\frac{y|y|}{3}=1$，则$|\sqrt{3}x+y-4|$的取值范围是\mtk{}．\ex 将大小相同$5$个不同颜色的小球，放在$A,B,C,D,E$共$5$个盒子中，每个球可以任意放在一个盒子里，则恰有两个盒子空且$A$盒子最多放$1$个球的放球方法总数为\mtk{}．\ex 若$2^{6}+2^{9}+2^{n}$为一个平方数，则正整数$n=$\mtk{}．\subsection*{二、解答题（共50分）}\ex （本题16分）已知曲线$C_{n}:x^{2}-2nx+y^{2}=0$（$n=1,2,\cdots$）．从点$P(-1,0)$向曲线$C_{n}$引斜率为$k_{n}$（$k_{n}>0$）的切线$l_{n}$，切点为$P_{n}(x_{n},y_{n})$．\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]\item 求数列$\{x_{n}\}$与$\{y_{n}\}$的通项公式；\item 证明：$x_{1}\cdot x_{3}\cdot x_{5}\cdot \cdots\cdot x_{2n-1}<\sqrt{\frac{1-x_{n}}{1+x_{n}}}<\sqrt{2}\sin\frac{x_{n}}{y_{n}}$．\end{enumerate}\vfill\ex （本题17分）设$b>0$，椭圆方程为$\frac{x^{2}}{2b^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$，抛物线方程为$x^{2}=8(y-b)$．如图所示，过点$F(0,b+2)$作$x$轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为$G$，已知抛物线在点$G$的切线经过椭圆的右焦点$F_{1}$．\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]\item 求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；\item 设$A,B$分别是椭圆长轴的左、右焦点，试探究在抛物线上是否存在点$P$，使得$\triangle ABP$为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．\end{enumerate}\begin{figure}[h]\centering\begin{tikzpicture}[scale=0.6]\draw[->] (-5,0) -- (5,0) node[below] {$x$};\draw[->] (0,-2) -- (0,4) node[left] {$y$};\draw (0,0) ellipse [x radius=2, y radius=1];\draw[domain = -5 : 5] plot (\x,{0.125*\x*\x+1});\draw(-5,3)--(5,3);\draw(-1,-2)--(4,3);\node[below left] at (0,0) {$O$};\node[below left] at (-2,0) {$A$};\node[below right] at (2,0) {$B$};\node[below right] at (4,3) {$G$};\node[below right] at (1,0) {$F_{1}$};\node[below right] at (0,3) {$F$};\end{tikzpicture}\end{figure}\vfill\ex （本题17分）设$f(x)=ax^{2}+\cos x-1$，$a\in\mathbb{R}$．\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]\item 当$a=\frac{1}{\pi}$时，求函数$f(x)$的最小值；\item 当$a\ge\frac{1}{2}$时，求证：$f(x)\ge 0$；\item 求证：$\cos\frac{1}{2}+\cos\frac{1}{3}+\cdots+\cos\frac{1}{n}>n-\frac{4}{3}$（$n\in\mathbb{N}^{*}$，$n>1$）．\end{enumerate}\vfill\nextpage\section*{2024年广州市中学生数学与科学联赛（数学）活动}\section*{增城区预赛二试试题}\setcounter{ex}{0}\ex \textbf{（本题满分40分）}如图，$I$是$\triangle ABC$的内心，$\angle A$的外角平分线交$BC$于点$D$，直线$BI$交$\triangle ABC$外接圆于点$E$，直线$CI$与直线$DE$交点为$F$．证明：$AF\parallel BE$．\begin{figure}[h]\centering\begin{tikzpicture}\tkzDefPoints{1/2/A,0/0/B,-4/0/C}\tkzDefTriangleCenter[circum](A,B,C)\tkzGetPoint{O}\tkzDefTriangleCenter[in](A,B,C)\tkzGetPoint{I}\tkzDefTriangleCenter[ex](B,C,A)\tkzGetPoint{I_c}\tkzInterLL(A,I_c)(B,C)\tkzGetPoint{D}\tkzInterLC(B,I)(O,A)\tkzGetSecondPoint{E}\tkzInterLL(C,I)(D,E)\tkzGetPoint{F}\tkzDrawSegments(A,B A,C C,D D,E B,E C,F A,F)\tkzDrawCircle(O,A)\tkzLabelPoints[right](A)\tkzLabelPoints[above](E)\tkzLabelPoints[below](I,B,C,D,F)\end{tikzpicture}\end{figure}\ex \textbf{（本题满分40分）}已知实数$a,b,c$均不等于$0$，且$a+b+c=m$，$a^{2}+b^{2}+c^{2}=\frac{m^{2}}{2}$，求$\frac{a(m-2a)^{2}+b(m-2b)^{2}+c(m-2c)^{2}}{abc}$的值．