2021年全国高中数学联赛

（四川预赛）试题

考试时间：年月日

一、填空题：本大题共小题，每小题分，满分分．

1. 过抛物线上两点，分别作抛物线的切线，与交于点．若，则__________．
2. 已知在凸五边形中，，，，，平分，．则面积的最小值为__________．
3. 已知在三棱锥中，，，．若点在平面上的射影恰好在上，则二面角的平面角的正弦值大小为__________．
4. 设为正实数，则的最小值为__________．
5. 设函数．若对于任意，均有恒成立，则实数的取值范围为__________．
6. 的值为__________．
7. 设集合，且可构成某个三角形的三边长．则的值为__________．
8. 在一个的方格表中，若个小方格中的每一个均被染成红、黄、蓝、紫四种颜色之一，任意两个有公共边的小方格的染色均不相同，且该方格表中恰有个小方格染蓝色，则符合条件的染色方法种数为__________．（用具体数字作答）

二、解答题：本大题共小题，满分分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

9. （本题满分分）已知椭圆的两顶点为，，离心率为．点（不同于、）在椭圆上，点的坐标为，，直线与交于点．求点的轨迹方程．
10. （本题满分分）给定正整数，，其中．数列满足：，，，若不存在无穷多个正整数，使得为完全平方数，则称具有性质．求证：存在无穷多个正整数具有性质．
11. （本题满分分）求最大的正整数，使得对满足的任意正实数，均有

    

    恒成立，其中．