2023年第35届美国数学人才选拔（第一轮）
公众号原标题：2023年第35届美国数学人才选拔（第一轮）——中文翻译
第一题图asy代码：
\begin{asy}unitsize(1.2cm);defaultpen(fontsize(30pt));for(int i=0; i<8; ++i){draw((i,0)--(i,7));draw((0,i)--(7,i));}filldraw((0,4)--(1,4)--(1,3)--(0,3)--cycle, gray);filldraw((1,1)--(1,2)--(2,2)--(2,1)--cycle, gray);filldraw((4,2)--(4,3)--(5,3)--(5,2)--cycle, gray);filldraw((3,4)--(4,4)--(4,5)--(3,5)--cycle, gray);filldraw((6,2)--(6,3)--(7,3)--(7,2)--cycle, gray);int[][] numbers = {{0,0,0,0,0,0,0},{1,0,1,0,3,0,5},{0,0,0,0,0,0,0},{0,0,1,1,3,5,0},{0,0,0,0,0,0,0},{0,0,0,0,0,0,0},{5,0,0,5,0,0,0}};for(int i=0; i<7; ++i){for(int j=0; j<7; ++j){if(numbers[i][j]>0){label(string(numbers[i][j]),(j+0.5,6.5-i));}}}\end{asy}第5题图asy代码：
\begin{asy}size(2inch);pair get_point(int ind) {return dir(90 + (ind + 12) * 360 / 13);}void fill_pts(int[] points) {path p = get_point(points[0]);for (int i = 1; i < points.length; ++i) {p = p -- get_point(points[i]);}p = p -- cycle;filldraw(p, RGB(160, 160, 160), black);}fill_pts(new int[]{12, 13, 2, 3});fill_pts(new int[]{10, 11, 4, 5});fill_pts(new int[]{8, 9, 6, 7});draw(polygon(13));for (int i = 1; i <= 13; ++i) {label(get_point(i), "$A_{" + (string)(i) + "}$", get_point(i));dot(get_point(i));}pair B = intersectionpoint(get_point(8) -- 3 * (get_point(8) - get_point(9)) + get_point(9), get_point(7) -- 3 * (get_point(7) - get_point(6)) + get_point(6));draw(get_point(7) -- B -- get_point(8));label("$B$", B, S);dot(B);\end{asy}tex代码：
2023年第35届美国数学人才选拔（第一轮）
程国根 译
1. 将$1,3,5$填入下表中的每一个非阴影方格内，使得对于每个方格，在与其相邻所有方格中，恰有一个所写数字和该方格相同．这里的“相邻方格”包括只共用一个点的方格，即对角相邻的方格．
注：本题有唯一的答案，但你只需要给出一个构造而无需证明．
2. 将$101$个正整数按照一定顺序排列成一个$404$位数：$2024,2025,2026,\cdots,2124$．这个$404$位数是否有可能为素数？
3. 设正整数$n\ge 2$，高度分别为$1,2,\cdots,n$的$n$座建筑排列在一条街道上．如果两座不同的建筑之间的所有建筑都比这两座建筑矮，则称这两座建筑是屋顶友好的．例如：建筑的高度依次为$5,3,6,2,1,4$，则其中有$8$对屋顶友好的建筑：$(5,3)$，$(5,6)$，$(3,6)$，$(6,2)$，$(6,4)$，$(2,1)$，$(2,4)$，$(1,4)$．用$n$表示屋顶友好的建筑对数的最大和最小可能值，并进行证明．
4. 求证：对任意满足$1\le\sqrt{x}\le y\le x^{2}$的实数$x,y$，如下关于$a,b,c$的方程组都有实数解：$$\begin{cases}a+b+c = \frac{x+x^2+x^4+y+y^2+y^4}{2}\\ab+ac+bc = \frac{x^3 + x^5 + x^6 + y^3 + y^5 + y^6}{2}\\abc=\frac{x^7+y^7}{2}\end{cases}$$
5. 在正十三边形$A_{1}A_{2}\cdots A_{13}$中，直线$A_{6}A_{7}$和$A_{8}A_{9}$交于点$B$．求证：阴影部分面积是总面积（包含$\triangle A_{7}A_{8}B$）的一半．
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\section*{2023年第35届美国数学人才选拔（第一轮）}\flushright 程国根\quad 译\ex 将$1,3,5$填入下表中的每一个非阴影方格内，使得对于每个方格，在与其相邻所有方格中，恰有一个所写数字和该方格相同．这里的“相邻方格”包括只共用一个点的方格，即对角相邻的方格．\begin{center}\includegraphics[scale=0.5]{USAMTS P1.pdf}\end{center}\textbf{注：本题有唯一的答案，但你只需要给出一个构造而无需证明．}\vfill\ex 将$101$个正整数按照一定顺序排列成一个$404$位数：$2024,2025,2026,\cdots,2124$．这个$404$位数是否有可能为素数？\vfill\ex 设正整数$n\ge 2$，高度分别为$1,2,\cdots,n$的$n$座建筑排列在一条街道上．如果两座不同的建筑之间的所有建筑都比这两座建筑矮，则称这两座建筑是\textbf{屋顶友好的}．例如：建筑的高度依次为$5,3,6,2,1,4$，则其中有$8$对\textbf{屋顶友好的}建筑：$(5,3)$，$(5,6)$，$(3,6)$，$(6,2)$，$(6,4)$，$(2,1)$，$(2,4)$，$(1,4)$．用$n$表示\textbf{屋顶友好的}建筑对数的最大和最小可能值，并进行证明．\vfill\ex 求证：对任意满足$1\le\sqrt{x}\le y\le x^{2}$的实数$x,y$，如下关于$a,b,c$的方程组都有实数解：$$\begin{cases}a+b+c = \frac{x+x^2+x^4+y+y^2+y^4}{2}\\ab+ac+bc = \frac{x^3 + x^5 + x^6 + y^3 + y^5 + y^6}{2}\\abc=\frac{x^7+y^7}{2}\end{cases}$$\vfill\ex 在正十三边形$A_{1}A_{2}\cdots A_{13}$中，直线$A_{6}A_{7}$和$A_{8}A_{9}$交于点$B$．求证：阴影部分面积是总面积（包含$\triangle A_{7}A_{8}B$）的一半．\begin{center}\includegraphics[scale=0.7]{USAMTS P5.pdf}\end{center}
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