每年，我国台湾的前IMO参赛者组成的小团体都会举办一个夏令营，讲解知识和技巧，还有8次模拟考试．从2017年开始，他们取消了模拟考试，用若干练习题来取代．下面就是2021年中国夏令营的IMOC练习题．

组合组

1. 数字，，，被排成一圈．对任意，如果，，按照某种顺序被排在连续三个位置上，且不在中间，则称为一个好数．(在这里，我们将视为，将视为)则最多有多少个好数？
2. 给定一个正整数．有三只松鼠，每只松鼠有一个正整数．已知其中最大的整数和最小的整数之差为．每一时刻，拥有第二大整数的松鼠看向拥有最大整数的的松鼠．如果它们所拥有的整数不同，那么拥有第二大整数的松鼠会不满意，并对拥有最大整数的的松鼠进行攻击，使拥有最大整数的松鼠所拥有的整数减少它们两者所拥有整数之差的倍．如果拥有整数第二和第三的松鼠所拥有的整数相同，只有一只松鼠会发起攻击．攻击会一直进行，直至拥有最大整数和第二大整数的松鼠拥有的整数相同．问：最多能进行多少次攻击？
3. 两只松鼠B和J为过冬收集了个核桃．J将核桃依次编号为到，并在它们最喜欢的树周围挖了一圈共个小坑．第二天早上，J发现B已经在每个小坑里放入了一枚核桃，但并未注意编号．不开心的J决定改变这些核桃的位置，B决定干涉J．它们俩轮流进行操作来改变核桃的位置．每一回合，B选择个核桃并改变它们的位置，而J选择个核桃并改变它们的位置．求最小的正整数，使得不论B怎么操作，J总能在有限次操作内，将第个核桃放在第个洞中．
4. 在一个城市中有若干个房子，房子被一些双向的道路所连接．已知对于任意两个房子A和B，恰好存在一个房子C，满足A和B均能通过一些道路和C相连．求证：对任意不能通过一条道路直接相连的两所房子，它们所连出的道路数目相等．
5. 一个醉汉在一棵树上随机地走动．每次，醉汉等可能地随机选择一个相邻的节点并走过去．求证：无论醉汉的起点和终点在哪，醉汉从起点首次到达终点的步数的期望值均为整数．
6. 两人在一个有个点的图上进行游戏．开始时，图上没有任何边．两人轮流选择两个非相邻顶点，并用一条边连接它们．将图变为连通图的人失败，问谁有必胜策略？
7. 给定一个正整数，称一个由个小正方形组成的图形为-枪，如果它由一个的网格和一个的网格组成，且其中一个网格角落的单位正方形与另一个网格角落的单位正方形相邻．求正整数的最小可能值，使得能将平面上的无穷网格染成种颜色，且任意-枪无法覆盖两个有相同颜色的不同单位正方形．
8. 求所有正整数和，使得网格能被的网格去掉一个角落小方格后形成的图形所覆盖．
9. 一个简单图中的两个顶点A和B，满足从A到B恰好有条最短路径．求图中顶点个数的最小值．
10. 在一个的网格中，有一只蜘蛛和只虫子．每次，蜘蛛可以向上、下、左、右四个方向之一移动，蜘蛛的目标是经过所有有虫子的格子，并将虫子全部吃掉．蜘蛛从左上角的格子出发．求证：不论虫子怎么分布，蜘蛛总能用步将它们全部吃掉．
11. 在一个的网格中，每个方格或被填入X，或没被填入．对每个方格，如果其中填有X，则将其记为；如果其中没有填入X，则将其记为此方格周围的个方格中被填入X的方格数．这里，如果两个方格有公共边或公共顶点，则它们彼此相邻．设为网格中所有标记的数总和的最大值．求最小的实数，使得

    对任意正整数，恒成立．