每年，我国台湾的前IMO参赛者组成的小团体都会举办一个夏令营，讲解知识和技巧，还有8次模拟考试．从2017年开始，他们取消了模拟考试，用若干练习题来取代．下面就是2022年中国夏令营的IMOC练习题．

数论组

1. 求所有正整数，使得对任意，，，，均为整数．

2. 对正整数，定义为满足如下要求的最小正整数：存在正整数和个不同的正整数，使得为完全平方数．求正实数的最小值，使得存在正整数，对任意，都有．

3. 求所有正整数，满足．

4. 求所有正整数对，使得为完全平方数．

5. 求不定方程

   

   的所有解，其中为素数，为正整数．

6. 求所有整系数多项式，使得对任意正整数，有．其中为的正约数个数，定义．
   注：本题可以使用如下结论：对任意，存在整数，使得对任意正整数，从小到大的第个素数不超过．

组合组

1. 给定正整数，一只鸽子和一只海鸥在的网格中玩游戏．从鸽子开始，双方轮流行动．鸽子选择其中个格子，并在它选择的每个格子中下一个蛋．海鸥选择一个的网格，吃掉里面的所有蛋．如果在某一时刻，网格中的每一个格子内都有一个蛋，那么鸽子获胜；否则海鸥获胜．对任意，求出所有的，使得鸽子能够获胜．

2. 桌子上有块石头．游戏开始时，老师选择一个正整数，并让A和B进行游戏．从A开始，A能在他的回合内移走至多块石头．两人轮流移走石头，每一回合能移走的石头数目至少为，且不超过对方上一回合移走石头数目的倍．无法移走石头者失败．求最小的正整数，使得有必胜策略．

3. 用如下三种形状的木板覆盖一个的正方形木板，没有缝隙和重叠．至少需要多少块的木板？

4. 给定正整数．考虑，，，的一个排列，，，．对该排列的一段，，，，称它为“极端的”，若和分别为这一段的最大值和最小值．称排列，，，为“超级平衡的”，若其不存在长度不少于的“极端的”段．例如：，，，是“超级平衡的”，但，，，不是．回答以下问题：
   (1)有多少个“超级平衡的”排列？
   (2)对任意正整数，有多少个满足的“超级平衡的”排列？

5. 称一个每项均为，，之一的数列为“三元数列”．对三元数列，定义其“差数列”为

   

   每次求差数列会使得数列长度减少，在求次差数列后，数列中将只剩下一项，定义其为原数列的特征值．
   有多少个长度为的三元数列，其特征值为？

6. 给定整数．Sunny和Ming进行一个字符串游戏．字符串是一个数列，其每项均为到之间的整数（包括和）．起初，Sunny选择两个正整数，，并写下个字符串，每个字符串长度均为．然后Ming标记至多个字符串．然后Sunny选择一个未被标记的字符串，并求出最大整数，使得存在另一个字符串满足它的前个字符和的前个字符相同．接着Sunny移除那些前个字符和的前个字符不同的字符串，只留下前个字符和的前个字符相同的字符串．最后，Ming选择到之间（包括和）的一个整数，移除第个字符为的所有字符串．Sunny的得分为剩余字符串的个数．求Sunny可以保证得到的最高分．