2024年罗马尼亚数学奥林匹克（地区级）

\section*{2024年罗马尼亚数学奥林匹克（地区级）}\begin{flushright} 程国根\quad 译\end{flushright}\section*{九年级组}\ex 凸四边形$ABCD$的对角线交点为$O$．已知$$\vv{AB}+\vv{AD}+\vv{AO}=\vv{BC}+\vv{DC}+\vv{OC},$$求证：$ABCD$为平行四边形．\vfill\ex 数列$(a_{n})_{n\ge 1}$定义如下：$a_{1}=\frac{1}{2}$，$2na_{n+1}=(n+1)a_{n}$．\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]\item 求$a_{n}$的通项公式．\item 设$b_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$．求证：$$\{b_{n}\}-\{b_{n+1}\}\neq\{b_{n+1}\}-\{b_{n+2}\}.$$译者注：（2）中的$\{b_{n}\}$指小数部分，即$\{b_{n}\}=b_{n}-[b_{n}]$．\end{enumerate}\vfill\ex 设正整数$n$的所有正约数为$1=d_{1}< d_{2}< \cdots< d_{k}=n$．已知对任意$i=1,2,\cdots,k-2$，关于$x$的方程$d_{i+2}x^{2}-2d_{i+1}x+d_{i}=0$均有实根．求证：$n=p^{k-1}$，其中$p$为素数．\vfill\ex 设$\triangle ABC$的垂心为$H$，边$BC$的中点为$X$．过$H$作$HX$的垂线，和$AB,AC$分别交于点$Y,Z$．设$O$为$\triangle ABC$的外心，$O'$为$\triangle BHC$的外心．\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]\item 求证：$HY=HZ$．\item 求证：$\vv{AY}+\vv{AZ}=2\vv{OO'}$．\end{enumerate}\vfill\newpage\section*{十年级组}\setcounter{ex}{0}\ex 设$a,b\in\mathbb{R}$，$a>1$，$b>0$．求最小的正实数$\alpha$，使得对任意$x\ge \alpha$，都有$$(a+b)^{x}\ge a^{x}+b.$$\vfill\ex 设$\triangle ABC$内接于单位圆$O$．对$\odot O$上任意一点$M$（异于$A,B,C$）定义$s(M)=OH_{1}^{2}+OH_{2}^{2}+OH_{3}^{2}$，其中$H_{1},H_{2},H_{3}$分别为$\triangle MAB$，$\triangle MBC$，$\triangle MCA$的垂心．\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]\item 求证：若$\triangle ABC$为等边三角形，则$s(M)=6$恒成立．\item 求证：若$\odot O$上存在不同三点$M_{1},M_{2},M_{3}$（异于$A,B,C$），使得$s(M_{1})=s(M_{2})=s(M_{3})$，则$\triangle ABC$为等边三角形．\end{enumerate}\vfill\ex 设$a,b,c$为非零复数，满足$|a|=|b|=|c|$，已知$A=a+b+c$和$B=abc$均为实数．求证：对任意自然数$n$，$a^{n}+b^{n}+c^{n}$均为实数．\vfill\ex 设$n$为正整数．求所有函数$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，使得对任意$x,y\in\mathbb{R}$，都有$$f(x+y^{2n})=f(f(x))+y^{2n-1}f(y),$$且$f(x)=0$恰有一个实根．\vfill\newpage\section*{十一年级组}\setcounter{ex}{0}\ex 矩阵$X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$满足$X^{2022}=X^{2023}$．求证：$X^{2}=X^{3}$．\vfill\ex 设整数$k\ge 2$．数列$(x_{n})_{n\ge 1}$定义如下：$x_{1}=a>0$，对任意$n\ge 1$，$x_{n+1}=x_{n}+\left\lfloor\frac{k}{a_{n}}\right\rfloor$．求证：数列$x_{n}$收敛，并求其极限．\vfill\ex 设$A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$是一个反对称矩阵，即$A=-A^t$．\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]\item 求证：若$A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$，且$A^{2}=O_{n}$，则$A=O_{n}$．\item 设$n$为奇数，求证：若$A$为另一个矩阵$B\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$的伴随矩阵，则$A^{2}=O_{n}$\end{enumerate}\vfill\ex 考虑函数$f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，其中$f$为连续函数．对任意实数$a<b<c$，存在一个极限为$b$的数列$(x_{n})_{n\ge 1}$，使得$n$趋于无穷时，$g(x_{n})$的极限存在，且$$f(a)<\lim_{n\to\infty}g(x_n)<f(c).$$\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]\item 试给出一个满足题意的$f,g$的构造，其中$g$处处不连续．\item 求证：若$g$单调，则$f=g$．\end{enumerate}\vfill\newpage\section*{十二年级组}\setcounter{ex}{0}\ex 求所有正整数$n\ge 2$，使得方程$x^2-\hat{3}\cdot x+\hat{5}=\hat{0}$在$(\mathbb{Z}_n,+,\cdot)$中有唯一解．\vfill\ex 设$f:[0,1]\to(0,+\infty)$是连续函数，$A=\int_{0}^{1}f(t)\mathrm{d}t$．\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]\item 考虑函数$F:[0,1]\to[0,A]$，定义如下：$F(x)=\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t$．求证：$F(x)$存在反函数，且反函数可微．\item 求证：存在唯一的函数$g:[0,1]\to[0,1]$，使得对任意$x\in[0,1]$，都有$\int_0^xf(t)\mathrm{d}t=\int_{g(x)}^1f(t)\mathrm{d}t$．\item 求证：存在$c\in[0,1]$，使得$\lim_{x\to c}\frac{g(x)-c}{x-c}=-1$，其中$g$为(2)中唯一的函数．\end{enumerate}\vfill\ex 设$k$为正整数．称环$(A,+,\cdot)$具有性质$P_{k}$，如果对任意$a,b\in A$，都存在$c\in A$，使得$a^{k}=b^{k}+c^{k}$．\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]\item 给出一个有限环$(A,+,\cdot)$，对任意$k\ge 2$，其都不具有性质$P_{k}$．\item 设整数$n\ge 3$，$M_{n}=\{m\in\mathbb{N}_{+}\mid (Z_{n},+,\cdot)\text{具有性质}P_{m}\}$．求证：$M_{n}$中的所有元素都为奇数，且$(M_{n},\cdot)$是一个幺半群．\end{enumerate}\vfill\ex 设$f:[0,+\infty)$一个可导函数，且导数连续．已知$f(0)=0$，对任意$x>0$，$0\le f'(x)\le 1$．求证：对任意正整数$n$和实数$a>0$，都有$$\frac{1}{n+1}\int_0^af(t)^{2n+1}\mathrm{d}t\le\left(\int_0^af(t)^n\mathrm{d}t\right)^{2}.$$\vfill