Mathematical Reflections 2024年第二期征解题

\section*{Mathematical Reflections 2024年第二期征解题}\section*{Junior Problems}\begin{flushright} 程国根\quad 译\end{flushright}{\bf J655.}求所有素数对$(p,q)$，使得存在正整数$n$，满足$$(p^{2}q+1)^{2}=(n+1)!+n!+1.$$\vfill{\bf J656.}求证：对任意正实数$a,b,c$，都有$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{81(a+b)(b+c)(c+a)}{16(a+b+c)^{3}}\ge 3.$$\vfill{\bf J657.}正方形$ABCD$的边长为$a$，中心为$O$，平面上一点$M$满足$\max\{MA,MC\}=\frac{1}{\sqrt{2}}(MB+MD)$．计算$OM$的长度．\vfill{\bf J658.}求方程组的实数解：$$\begin{cases}\lg x\cdot\lg y=\lg(xy)\\\lg y\cdot\lg z=\lg(1000yz)\\\lg z\cdot\lg x=\lg(zx)\end{cases}.$$\vfill{\bf J659.}求所有非负整数对$(m,n)$，使得$2^{n}+3^{m}+4$为完全平方数．\vfill{\bf J660.}求不定方程的整数解：$$x^{2}-xy+y^{2}=\left(\frac{x+y}{2}+6\right)^{2}.$$\vfill\newpage\section*{Mathematical Reflections 2024年第二期征解题}\section*{Senior Problems}\begin{flushright} 程国根\quad 译\end{flushright}{\bf S655.}计算：$$\sin\frac{\pi}{42}\sin\frac{5\pi}{42}\sin\frac{13\pi}{42}\sin\frac{17\pi}{42}\sin\frac{19\pi}{42}\sin\frac{31\pi}{42}.$$\vfill{\bf S656.}设$\triangle ABC$的半周长为$s$，面积为$K$．求证：以$BC$为直径的圆与$\triangle ABC$的内切圆相切当且仅当$$\frac{1}{s-b}+\frac{1}{s-c}=\frac{s}{K}.$$\vfill{\bf S657.}求不定方程的素数解：$$p^{6}+q^{6}+r^{6}+2=s^{3}-t^{3}.$$\vfill{\bf S658.}$\triangle ABC$的三边长满足$a+b+c=2$．求证：$$\sqrt{\frac{a}{a^{2}+bc}}+\sqrt{\frac{b}{b^{2}+ca}}+\sqrt{\frac{c}{c^{2}+ab}}\ge 2.$$\vfill{\bf S659.}非负实数$a,b,c$满足$a+b+c=1$．分别求常数$\lambda$的最大值，使得不等式成立：\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]\item $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\lambda abc\le 1$．\item $a^{3}+b^{3}+c^{3}+\lambda abc\le 1$．\end{enumerate}\vfill{\bf S660.}正实数$a,b,c$满足条件$$1-2(a+b+c)+3(ab+bc+ca)-4abc=0,$$求证：$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+56(a+b+c)\ge 54.$$\vfill\newpage\section*{Mathematical Reflections 2024年第二期征解题}\section*{Undergraduate Problems}\begin{flushright} 程国根\quad 译\end{flushright}{\bf U655.}设正整数$n$模$3$不余$1$，$z$是一个$2^{n+1}-1$次单位根．计算：$$\left(\mathrm{Re}(z)-\frac{1}{2}\right)\left(\mathrm{Re}(z^{2})-\frac{1}{2}\right)\left(\mathrm{Re}(z^{4})-\frac{1}{2}\right)\cdots\left(\mathrm{Re}(z^{2^{n}})-\frac{1}{2}\right).$$\vfill{\bf U656.}域$K\subset L$使得$z^{2}-z+1=0$在$K$中无解．已知$x,y\in L\setminus K$满足$x^{2}+2y,y^{2}+2x,xy\in K$．求证：$K(x)=K(y)$．\vfill{\bf U657.}计算$$\lim_{n\to\infty}\ln^{2}(n+k)\cdot\frac{\sum\limits_{1\le i<j\le n}3^{-(i+j)}}{\sum\limits_{1\le i<j\le n}(ij)^{-1}}.$$\vfill{\bf U658.}求所有四元正整数组$(a,b,c,d)$，使得$$3a!+b=19^{c},3a+4b!=19^{d}.$$\vfill{\bf U659.}计算：$$\lim_{n\to\infty}n\sin\left(\left((2\pi n)^{p}+2^{p}\pi^{p}n^{p-1}p\right)^{1/p}\right)-n\pi(1-p).$$\vfill{\bf U660.}设整数$n\ge 2$，实数$a\in(-2,2)$．\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]\item 求证：矩阵方程$X^{2}+aX+I_{n}=O_{n}$在环$M_{n}(\mathbb{C})$上有解．\item 求证：（1）中的方程在$M_{n}(\mathbb{R})$上有解当且仅当$n$为偶数．\item 求证：在（1）、（2）的情况中，方程均有无数个解．\end{enumerate}\vfill\newpage\section*{Mathematical Reflections 2024年第二期征解题}\section*{Olympiad Problems}\begin{flushright} 程国根\quad 译\end{flushright}{\bf O655.}设$a,b,d_{n}$，$n=1,2,\cdots$为整数，其中$a\neq 0$，且和每一个$d_{n}$（$n\ge 1$）互质，对任意$n\ge 2$，$d_{n}$和$d_{n+1}$也互质．求证：存在$an+b$的一个排列$c_{1},c_{2},\cdots$，使得对任意正整数$n$，都有$d_{n}$整除$c_{1}+c_{2}+\cdots+c_{n}$．\vfill{\bf O656.}设整数$n\ge 2$．求最大的整数$k$，使得对满足$a_{1}\ge a_{2}\ge\cdots a_{n}\ge 0$的任意实数$a_{i}$，都有$$\left(\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}}{k}\right)^{2}\ge\frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}}{n}.$$\vfill{\bf O657.}将所有素数按顺序排列为$p_{1}=2,p_{2}=3,\cdots$．求证：存在由不同素数组成的数列$q_{1},q_{2},\cdots$，使得对任意$n\ge 1$，都有$p_{n}\mid q_{1}+\cdots+q_{n}$．\vfill{\bf O658.}求证：存在无穷多个正整数$a$，使得$$a!+(a+2)!\mid (2a+2)!.$$\vfill{\bf O659.}设$M$为$\triangle ABC$内部任意一点．$x,y,z$分别为点$M$到三边$BC,CA,AB$的距离，$S$为$\triangle ABC$的面积．求证：$$\min\{MA,MB,MC\}\le\frac{\sqrt{abc(ayz+bzx+cxy)}}{2S}\le\max\{MA,MB,MC\}.$$\vfill{\bf O660.}正实数$a,b,c$满足条件$$1-2(a+b+c)+3(ab+bc+ca)-4abc=0.$$求证：$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+32\ge\frac{33}{a+b+c}.$$并说明等号成立条件．\vfill