2023年基辅数学奥林匹克（第一轮）

\section*{2023年基辅数学奥林匹克（第一轮）}\flushright 程国根\quad 译\section*{七年级组}\ex 如图所示，矩形被分割成了$6$个正方形．已知中间的灰色正方形边长为$1$，求矩形的面积．\begin{center}\includegraphics[scale=0.3]{基辅P1.png}\end{center}\vfill\ex 任给$n\ge 3$个互异的实数，求证：其中必存在三个实数之和为正，或两个实数之和为负．\vfill\ex 求证：不存在正整数$k$和$n$，使得$$n^n+(n+1)^{n+1}+(n+2)^{n+2} = 2023^k.$$\vfill\ex 给定正整数$n\ge 2$，考虑$n\times n$方格网中每个小方格的中心．至多能从中选取多少个点，使得不存在三点构成直角三角形？\vfill\newpage\section*{八年级组}\setcounter{ex}{0}\ex 求最接近以下表达式值的整数：$$((7 + \sqrt{48})^{2023} + (7 - \sqrt{48})^{2023})^2 - ((7 + \sqrt{48})^{2023} - (7 - \sqrt{48})^{2023})^2.$$\vfill\ex 正整数$k$和$n$满足$3\le k\le n$，任给$n\ge 3$个互异的实数，求证：其中必存在$k$个实数之和为正，或$k-1$个实数之和为负．\vfill\ex 给定一个三边长分别为$a,b,c$的三角形，以三角形的每个顶点为圆心各作一个圆．已知在三角形的内部存在一点，从这点出发沿直线行走可以到达三角形的每一条边，而不与任意一个圆相交（可以相切）．求这三个圆的直径之和的最大可能值．\vfill\ex 称一对正整数$\overline{a_{1}a_{2}\cdots a_{k}}$和$\overline{b_{1}b_{2}\cdots b_{k}}$是$k$-相似的，如果它们的数码$a_1, a_2, \cdots, a_k , b_1 , b_2, \cdots, b_k$互不相同，且存在不同的正整数$m,n$，使得下面的等式成立：$$a_1^m + a_2^m + \ldots + a_k^m = b_1^n + b_2^n + \ldots + b_k^n$$使得存在$k$相似的两个数的最大的$k$是多少？\vfill\ex 给定正整数$n\ge 3$，考虑$n\times n$方格网中每个小方格的中心．至多能从中选取多少个点，使得不存在四点构成凸四边形？\vfill\newpage\section*{九年级组}\setcounter{ex}{0}\ex 求最接近以下表达式值的整数：\begin{small}$$\begin{aligned}&\left((3 + \sqrt{1})^{2023} - \left(\frac{1}{3 - \sqrt{1}}\right)^{2023} \right)\left((3 + \sqrt{2})^{2023} - \left(\frac{1}{3 - \sqrt{2}}\right)^{2023} \right)\\&\cdots\left((3 + \sqrt{8})^{2023} - \left(\frac{1}{3 - \sqrt{8}}\right)^{2023} \right).\end{aligned}$$\end{small}\vfill\ex 非零实数$a,b,c$满足条件$ab+bc+ca=0$．求证：$a+b+c$和$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}$同时为正或同时为负．\vfill\ex 在$\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$．设$W_{A},W_{B}$分别为$\angle A,\angle B$的角平分线和$\triangle ABC$外接圆的另一个交点，$N_{A},N_{B}$分别为$W_{A},W_{B}$的对径点．设$N_{A}W_{B},N_{B}W_{A}$分别和$AB$交于点$P,Q$．求证：$AP=BQ$．\vfill\ex 同八年级组第5题．\vfill\ex 在笛卡尔坐标平面上是否存在一个凸$2023$边形，其每个顶点都为整点，且所有边的长度均相等？\vfill \newpage\section*{十年级组}\setcounter{ex}{0}\ex 求所有满足以下不等式的正整数$n$：$$-46 \leq \frac{2023}{46-n} \leq 46-n.$$\vfill\ex 对任意给定的实数$a,b,c$，解方程组：$$\begin{cases}ax^{3}+by=cz^{5},\\az^{3}+bx=cy^{5},\\ay^{3}+bz=cx^{5}.\end{cases}$$\vfill\ex 考虑笛卡尔坐标平面上所有相异整点对$(A,B)$．对哪些整点对$(A,B)$，平面上存在另两个整点$X,Y$，使得四边形$AXBY$为凸的圆内接四边形？\vfill\ex 正整数$m,n$满足$9\mid mn$，$27\nmid mn$．将一个$m\times n$的矩形划分成若干个
\vcenter{\hbox{\begin{tikzpicture}[scale=0.3]\tkzInit[ymin=-0.1,ymax=2.1,xmin=-0.1,xmax=2.1]\tkzClip\tkzDefPoints{0/0/A,1/0/B,2/0/C,0/1/D,1/1/E,2/1/F,0/2/G,1/2/H}\tkzDrawSegments(A,C D,F G,H A,G B,H C,F)\end{tikzpicture}}}
形（可以旋转，一共$4$种不同形式）．是否存在一种划分方法，使得存在某种形式的
\vcenter{\hbox{\begin{tikzpicture}[scale=0.3]\tkzInit[ymin=-0.1,ymax=2.1,xmin=-0.1,xmax=2.1]\tkzClip\tkzDefPoints{0/0/A,1/0/B,2/0/C,0/1/D,1/1/E,2/1/F,0/2/G,1/2/H}\tkzDrawSegments(A,C D,F G,H A,G B,H C,F)\end{tikzpicture}}}
形，其个数恰为完全平方数？\vfill\ex 同九年级组第5题．\vfill \newpage\section*{十一年级组}\setcounter{ex}{0}\ex 比较大小：$A = \frac{1}{9} : \sqrt[3]{\frac{1}{2023}}$，$B = \log_{2023} 91125$．\vfill\ex 给定$n\ge 4$个正实数，考虑它们两两之和．求证：在这$\frac{n(n-1)}{2}$个和中，存在两个数，它们之比（大比小）不超过$\sqrt[n-2]{2}$．\vfill\ex 在$\triangle ABC$中，$AB<AC$，$I$为内心．点$X$在$\angle ABC$的外角平分线上，满足$IC=IX$．$\triangle BXC$的外接圆在点$X$处的切线交$AB$于点$Y$．求证：$AC=AY$．\vfill\ex 求所有正整数组$(m,n)$，使得$2^{n}-13^{m}$为完全立方数．\vfill\ex 在一个遥远的星系中，有$225$个有人居住的行星，其中一些行星对之间有双向空间通道，且可以从任意一个行星到达另一个行星（可能需要多次中转）．行星的影响力是指与该行星有空间通道连接的其他行星的数量．已知如果两颗行星之间没有空间通道连接，则它们的影响力不同．在这种情况下，空间通道条数的最小可能值是多少？\vfill