2024年日本数学奥林匹克预赛

\section*{2024年日本数学奥林匹克预赛}\flushright 程国根\quad 译\ex 已知$\sqrt{\dfrac{123!-122!}{122!-121!}}$为有理数，请将其写为最简分数．\vfill\ex 称每一位上的数码均为素数的正整数为\textbf{可爱数}．已知恰有两个三位数$n$，满足$n+2024$和$n-34$均为\textbf{可爱数}．求所有这样的$n$．\vfill\ex 正$\triangle ABC$的边长为$10$．一个过点$A$的圆和线段$BC$（不含端点）相切于点$X$，并和$AB$、$AC$分别再次交于点$D$、$E$．若$BX>CX$，且$AD+AE=13$．求$BX$的长度．\vfill\ex 设整数$n$满足$0\le n\le 5^{5}$，将$n$块黑色石头和$5^{5}-n$块白色石头排成一排，并重复进行如下操作共$5$次：将所有石头从左到右每$5$个分为一组，将每一组石头替换成该组中颜色出现频率更高的一枚石头代替．求$n$的最小值，使得无论初始排列如何，最后剩下的石头总是黑色的．\vfill\ex 求不小于$10$的最小的整数$n$，使得：$$\left\lfloor \frac{n}{1} \right\rfloor \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor\cdots \left\lfloor \frac{n}{10} \right\rfloor=\binom{n}{10}.$$\vfill\ex 在等腰三角形$ABC$中，$AB=AC=5$，点$D$在边$AB$上，且$AD=3$，点$E$在边$BC$上（不含端点）．圆$\omega$过点$E$，且和$AB$切于点$B$．设$\omega$和$AE$的另一个交点为$F$，$CF=10$．若$\omega$和$\triangle ADE$的外接圆相切，求$BC$的长度．\vfill\ex 求满足以下条件的正整数对$(a,p)$的数量：\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]\item $p$为大于$2$的素数；\item $1\le a\le 2024$；\item $a<p^{4}$；\item $ap^{4}+2p^{3}+2p^{2}+1$为完全平方数．\end{enumerate}\vfill\ex 函数$f:\mathbb{Z}_{\ge 0}\to \mathbb{Z}$满足：对任意非负实数$m,n$，都有$$f(m+n)^2=f(m|f(n)|)+f(n^2).$$求整数组$\left(f(0), f(1), \cdots, f(2024)\right)$所有可能取值的个数．\vfill\ex 在圆内接四边形$ABCD$中，$AB=7$，$BC=18$．$\angle CDA$的角平分线和$BC$交于点$E$，点$F$在线段$DE$上，满足$\angle AED=\angle FCD$．若$BE=5$，$EF=3$，求$DF$的长度．\vfill\ex 在$100\times 100$方格表的每个格子中填入J、M、O三个字母之一．称一个$2\times 2$的方格是“好的”，如果它满足以下条件之一：\begin{itemize}\item 四个格子内所填字母完全相同；\item 四个格子内共填有两种不同字母，每种字母恰重复两次；\item 四个格子内共填有三种不同字母，且左下角和右下角格子中所填字母相同\end{itemize}求所有填字母的方法数，使得每个$2\times 2$方格都是“好的”，且恰有$10000$对相邻格子中填有不同字母．\vfill\ex 函数$f:\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}$满足$f(34)=2024$，且对任意正整数$a,b,c$，都存在一个非退化三角形，其三边长分别为$a+f(b)$，$b+f(c)$，$c+f(a)$．求$f(100)+f(101)+\cdots+f(199)$的最小可能值．\vfill\ex 求满足以下条件的整数组$(a_{1},a_{2},\cdots,a_{2100})$（$0\le a_{i}\le 2099$）的个数：存在整数组$(b_{1},b_{2},\cdots,b_{2100})$，使得对任意$1\le i\le 2100$，都有$$a_{i}\equiv\sum_{\gcd(j-i,2100)=1\atop 1\le j\le 2100}b_{j}\pmod{2100}.$$\vfill