MOP 2026家庭作业问题

题1. 设是整系数多项式，满足对任意正整数，都有．证明是零多项式．

题2. 称正整数是好的，如果存在的一个排列，使得对每个，都是完全平方数．求集合中的所有好数．

题3. 设正整数（其中某些可以相等）满足如下条件：分数

中任意两个都不相等．则中至少有多少个不同的数？

题4. 在三角形中，为直角．设是直线上的点，满足且在与之间．取点使得且平分．取点使得且平分．设是的中点．取点使得是平行四边形．证明、和三线共点．

题5. 设是实系数多项式．已知有三个正实根且，证明

题6. 设是不等边三角形，垂心为，外心为．记、分别为、的中点．设以为直径的圆与三角形的外接圆交于异于的点，与直线交于异于的点．圆在处的切线与直线交于点．证明三角形与三角形的外接圆交于上的一点．

题7. 求下面方程的所有素数解：

题8. 在的三角形中，设其内切圆分别与边、、相切于、、．的内角平分线分别与直线、交于、．设、是边上两个不同的点，满足

设是三角形的外接圆．证明与三角形的外接圆和内切圆都相切．

题9. 设是平面上由个点组成的集合，满足如下两个条件：

(1)中存在七个点构成一个凸七边形的顶点；

(2)只要中的五个点构成一个凸五边形的顶点，就存在中的一个点在该五边形的内部．

求的最小可能值．

题10. 假设每个正整数都被染成红色或蓝色．证明存在一个严格递增的无穷正整数序列

使得

是一个所有项颜色都相同的无穷正整数序列．

题11. 对正整数的有限集，定义

给定正整数的有限集满足，证明存在正整数的有限集，使得

题12. 设三角形的内切圆与相切于．直线与再次交于，设是在处的切线．取点使得．设、分别与三角形的外接圆交于异于的点和异于的点．证明三角形的外心在直线上．

附加题1. 设是独立随机变量，取值于集合，令

为得到的的随机子集．设是不相交的集合．证明

附加题2. 设是中心为的正七边形．设是经过五点的双曲线．求的两条渐近线之间的锐角．