2025年巴尔干地区数学奥林匹克预选题

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代数

1. 求所有实系数多项式，使得对任意，均满足
2. 求所有正整数，使得对任意，不等式恒成立．
3. 设为非常数函数．证明：存在，使得．

4. 证明：对任意，不等式

   恒成立．

   求所有函数，使得对任意，均满足

   设正实数满足，证明：

   设为正实数，证明：

组合

1. 给定一张行列的方格表格，每个方格填入集合中的一个数（允许重复）．要求：对集合中任意一对互不相同的数，都存在某一行恰好包含其中一个数．求正整数的最小值．
2. 若一个图的边可以用两种颜色染色，且图中不存在包含两条连续同色边的圈，则称该图为好图．求具有个顶点的好图的最大边数．
3. 一只兔子位于欧几里得平面内点处，平面内分布若干个地雷（可以有无穷多个），每个地雷为任意半径的圆盘．任意两个地雷至多有一个公共切点，无其他交点．兔子每次跳跃的距离严格等于，且不能落入任意地雷的内部（可以落在地雷边界上）．已知兔子与坐标原点均不在任何地雷内部，求最小的实数，使得无论地雷如何布设，兔子总能到达与原点距离不超过的位置．
4. 某社交网络共有名用户，任意两名不同用户要么互为好友，要么互不为好友．若一名用户没有任何好友，则称其为孤独用户．初始状态下，网络中不存在孤独用户，且用户Alice与Bob互不为好友．定义好友反转操作：一名用户将自身所有好友关系全部取反，原有好友变为非好友，原有非好友变为好友．证明：可以将名用户排成一个序列，按序列顺序依次对每名用户执行好友反转操作，且操作全过程中始终不存在孤独用户．
5. 设为正整数且．共有堆石子，各堆石子数量依次为，满足对任意，有（由此可得）．Aida与Bob进行如下游戏：每一轮Bob任选两堆非空石子，从石子数量较少的一堆中取走若干石子；若两堆石子数量相等，则任选其中一堆取子．随后Aida做出二选一决策：要么从另一堆中取走相同数量的石子，要么将Bob刚取走的石子全部移至另一堆中．当场上至多仅剩一堆非空石子时游戏结束．求最小的正整数，使得无论初始石子数量如何、无论Bob如何操作，Aida都能保证游戏过程中某一时刻全场石子总数不超过．
6. 某国有座城市（，为整数），部分城市之间设有双向直飞航线．对任意两座城市给出如下定义： (i)到的路径：由两两不同城市构成的序列（），满足对任意，与之间有直飞航线； (ii)到的最长路径：一条到的路径，且不存在其他到的路径包含更多顶点； (iii)到的最短路径：一条到的路径，且不存在其他到的路径包含更少顶点． 已知该国任意两座城市，都存在一条最长路径与一条最短路径，两条路径除端点外无其他公共顶点．记为该国所有直飞航线对应的城市对数量，求关于的所有可能取值．

几何

1. 设满足，点在边上，且．过点作直线，在直线上取点满足，且直线与的外接圆相切．证明：的外接圆在点处的两条切线交于直线上．
2. 设满足且，点在线段上且．设为的外心，过点作的平行线交于点．证明：直线经过线段的中点．
3. 设锐角的垂心为，为边上任意一点．点分别在线段上，满足四点共圆，四点共圆．设与交于点，点在射线上，且直线与的外接圆相切于点．设与交于点，证明：三点共线．
4. 设为的内心，点在不含顶点的弧上任取一点．设分别为与的内心，直线与交于点，直线与交于点．证明：直线与的交点落在一条与点位置无关的定直线上．
5. 设凸四边形满足，取点使得、、、．设直线与直线交于点，为线段的中点，证明：四点共圆．
6. 设锐角内接于以为圆心的圆，且．记为的垂心，为边的中点，为的外接圆．设直线与圆交于异于的点，直线与圆交于异于的点．证明：圆在点处的切线与圆在点处的切线，两线交点落在的外接圆上．

数论

1. 设为正整数，是个大于的互不相同整数，且存在正整数使得．证明：中至少有一个为质数．
2. 若存在的一个排列，满足如下两个条件： (i) 对任意，与奇偶性不同； (ii) 对任意，部分和是模的二次剩余． 则称整数为好数．证明：存在无穷多个好数，同时也存在无穷多个不是好数的正整数．
3. 给定正整数，若正整数数对满足且，则称为一组好对．求所有正整数，使得存在无穷多组好对．
4. 设为正整数，若对任意整数，总存在正整数，使得且．证明：．
5. 设为给定正整数，求所有正整数，使得存在整系数多项式满足，且对任意正整数，均有．
6. 求所有整系数多项式，使得存在正整数，对任意正整数，都有且．