2023年温州摇篮杯压轴不等式解答

上午有老师问了一道不等式，是今年温州摇篮杯的最后一题，但一般形式更早是在2006年伊朗TST中出现的这里写个解答．

题目：

设实数，

(1)若的最小值为，求的最小值；

(2)若恒成立，求整数的最大值．

主要看第二问，要求使得不等式恒成立的的最大值，考虑最坏情况：左边尽可能小，右边尽可能大．

于是构造能够正负抵消的到，注意到是奇数，无法对称地构造正负，我们取

得到左边为，右边为，于是，最大整数值为．

我们直接证明一般情况的不等式：

给定正整数，设，求证：

对这样的绝对值不等式，我们常用正负分离的方法，结合绝对值的三角不等式进行处理．

证明：

若所有的同号，不等式显然成立．

设，不妨设（否则可以将每个均加上负号）．

于是对于同号的和，有．不等式的左边

故只需证：

由绝对值不等式，对任意和，都有

对每个固定的，在中都有个，由知，于是的数量也不少于的数量．

求和即证．

由上可以看出，等号成立条件是每个的绝对值相等，且正数与负数的个数相同（要求为偶数）．