一道预赛不等式题的初等解法

已知，且，求的最小值．
（2011年河北省预赛）

这道预赛题的背景比较明显，乘上后可以将等式右侧的和进行分离．于是在时，可以看作某个函数的割线斜率，再由拉格朗日中值定理即可转为切线斜率．

这也是官方的解答，如下：

当时，题设函数两边同乘以得

令．

则为图像上两点的斜率．

当时，．

于是，只需求在上的导函数的最小值．

易求当时，的最小值为．

来源：《中等数学》2012年第7期

本方法最大的问题就在拉格朗日中值定理的使用。在高中范围内，我是非常反对直接使用这些高级定理解题的。

而今天，我又听到一个学生说，某老师讲这题用了偏导数，这就更加不可理解了。

这里写一个初等的解法．

首先猜测等号成立条件，由对称性可知在时取得极值．此时，则，于是在递减，在递增．所以猜测在时取得最小值．（这里可以多尝试几组，确保结论准确）

根据猜测的取等条件进行恒等变形．

若，同不大于，或同不小于，则

即，在时等号成立．

否则，不妨设，则，即．

综上，最小值为．