2023年印度NMTC初中数学竞赛

\section*{2023年印度NMTC初中数学竞赛}\flushright 程国根\quad 译\ex 求整数$m,n$，使得它们的立方和等于和的平方．\vfill\ex 在锐角$\triangle PQR$中，高$PL$和$\angle QRP$的角平分线$RK$交于点$H$（$L$在$QR$上，$K$在$PQ$上）．$\triangle PKR$的高$KM$和$PL$交于点$N$．$\triangle NKR$的外接圆和$QR$交于点$S$（异于$Q$）．求证：$\triangle SHK$为等腰三角形．\vfill\ex 设$a_{i}(1\le i\le 6)$为实数，多项式$f(x)=a_1+a_2x+a_3x^2+a_4x^3+a_5x^4+a_6a^5+7x^6-4x^7+x^8$能被分解为一次因式$x-x_{i}$之积，其中$x_{i}(1\le i\le 8)$为实数．求$a_{1}$的所有可能值．\vfill\ex 设$n$为偶数，$n$个袋子中共装有$2n$个苹果，每个袋子中苹果个数至少为$1$，至多为$n$．求证：总能将袋子分成两部分，其中每个部分的苹果个数都为$n$．\vfill\newpage\ex 正实数$a,b,c$满足$$\dfrac{2}{5}\le c\le \min\{a,b\},ac\ge\dfrac{4}{15},bc\ge\dfrac{1}{5}.$$求$\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}$的最大值．\vfill\ex 实数$x,y,z,u$的平方和为$1$．求$$E=(x-y)(y-z)(z-u)(u-x)$$的最小值，并说明取得最小值时$x,y,z,u$的取值．\textbf{注：本题为$2022$年亚太地区数学奥林匹克第5题}\vfill\ex 设$n$为正整数，记$S(n)$为$n$在十进制表示下的数码和．将$n$的十进制表示从右端删去一个或多个数码称为$n$的截断，记$n$的所有截断之和为$T(n)$．求证：$S(n)+9T(n)=n$．\vfill\ex 设$ABCD$为圆内接四边形，对角线$AC$和$BD$的中点分别为$P$和$Q$．若$BD$平分$\angle AQC$，求证：$AC$平分$\angle BPD$．\textbf{注：本题为2011年全国高中数学联赛二试第一题}\vfill