2024年阿尔·花剌子密初中数学竞赛

\section*{2024年阿尔·花剌子密初中数学竞赛}\section*{第一天}\ex 给定面积为$S$的$\triangle ABC$．每一次操作可以移动三角形的一个顶点，同时保持面积不变．求证：能通过有限次操作，将$\triangle ABC$变为任意面积为$S$的$\triangle DEF$．\ex 存在多少个$x\in\{1,2,3,\cdots,2024\}$，使得存在连续$x$个非负整数之和等于另外连续$2024+x$个连续非负整数之和？\ex 求所有$x,y,z\in\left(0,\frac{1}{2}\right)$，使得：$$\begin{cases}(3 x^{2}+y^{2}) \sqrt{1-4 z^{2}} \geq z; \\(3 y^{2}+z^{2}) \sqrt{1-4 x^{2}} \geq x; \\(3 z^{2}+x^{2}) \sqrt{1-4 y^{2}} \geq y.\end{cases}$$\ex 对$\{a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\}$的一个排列，若其前$k$项的算术平均值是严格递增的，则称这个排列\textbf{均值递增}．对固定的$n$，在$\{1,2,\cdots,n\}$的任意均值递增的排列中：\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]\item 求最后一项的最小可能值；\item 求$n$可能排在的最小位次．\end{enumerate}\nextpage\section*{2024年阿尔·花剌子密初中数学竞赛}\section*{第二天}\ex 在一个派对中，每个人恰好是$14$个人的朋友（不包含自身）．若两人为朋友，则他们恰有$6$个公共朋友；若两人不为朋友，则他们恰有$2$个公共朋友．求这个派对的总人数．\ex $a,b,c$为不同实数，满足$a+b+c=0$，且$$a^{2}-b=b^{2}-c=c^{2}-a$$求$ab+bc+ca$的所有可能值．\ex 两圆$\odot O_{1},\odot O_{2}$交于$P,Q$两点．设$\omega$为$\triangle PO_{1}O_{2}$的外接圆，$\omega$和$\odot O_{1}$再次交于点$A$，和$\odot O_{2}$再次交于点$B$．已知点$Q$在$\triangle PAB$内部，$PQ$和$\omega$再次交于点$M$．点$E$在$\omega$上，满足$PQ=QE$．设$ME$和$AB$交于点$L$，求证：$\angle QLA=\angle MLA$．\ex 黑板上写有$3$个正整数．在每一次操作中，Elbek将黑板上的$3$个数$a,b,c$替换成$a+\gcd(b,c)$,$b+\gcd(c,a)$,$c+\gcd(a,b)$．求证：在有限次操作后，黑板上的$3$个数中有两数相等，且整除第$3$个数．