2024年高联几何题另证

今年高中数学联赛已过去半个多月，这里发一个我对平面几何题的另解，思路来源于学生在考场上的想法，但后半部分并未完成，我用线性幂差引理续上了这个证明．

线性幂差引理：对两定圆和一动点，关于是线性的．这里表示点对圆的圆幂．

引理的证明：

设的圆心为，半径为，．

则

显然是关于线性的．

推论： 对三点，若（），即在直线上，则．

线性幂差引理是对圆幂更深入的研究，适合用于有两圆以及三点共线的问题．

下面我们来看今年高联的平面几何题：

题目

如图，在凸四边形中，平分，点分别在边上，满足．分别延长至点，使得过点的圆及过点的圆均与直线相切．证明：四点共圆．

分析

最直接地，要想证明四点共圆，从角考虑，只需证明．

利用切线和角平分线导角可得：

故只需证明：．

这里能转为一组新的四点共圆，但需要构造出新的交点，比较麻烦，于是想办法将这两个角转移．

设的外接圆与的另一交点为点，则；设的外接圆与的另一交点为点，则．

只需证明：，即．

如图，设和的另一交点为，和的另一交点为，分别交于点．

由知，．故只需证明：．

设．则

于是由线性幂差引理，

由点在和的公切线上知，要证明，只需证明：

这由即证．