九年级组

1. 函数：满足对于任意，，都有

   

   (1)求证：．
   (2)求函数．
2. (1)求证：对于任意，都有．
   (2)设，，，满足．求证：

   
3. (1)求方程的正整数解．
   (2)求二元自然数组，使得和为相邻整数．
4. 称平面上的六点组成的集合“可拆分的”，如果能将其分别记为，，，，，，且和有相同的重心．
   (1)构造一个可拆分的点集．
   (2)证明：任意点构成的集合总存在一个不可拆分的六元子集．

十年级组

1. 求所有，满足

   
2. 复数，，的模长均为，且对于任意，都有．求证：

   
3. 称一个正整数“有趣的”，如果存在模长为的复数，满足

   问：有多少个小于的有趣的数？
4. 求所有函数：，满足对任意，，都有

   

十一年级组

1. 函数，：满足对任意，都有

   

   给定满足达布条件(中值定理条件)的函数，求证：和均连续，且两者相等．
2. 和均为阶实矩阵，且．求证：对任意实数和，．
3. 数列定义如下：，对于任意，．数列满足对于任意，．求证：
   (1)对于任意，，且．
   (2)．
4. 整数，为阶复矩阵．求证：若，则．

十二年级组

1. 设为半群的幺元，且为一个可逆元．求证：
   (1)集合非空．
   (2)若可逆，则当且仅当．
   (3)若为半群，则对任意，都有．
2. 设为一个群，为一个子群，满足对任意，，都有．求证：为阿贝尔群．
3. 求所有，满足

   
4. 开区间，：为一个严格单调函数．求证：对于任意，存在，，使得，且