记号说明：

1. 本试题中，表示正整数集，则表示自然数集．
2. 表示的次迭代，则表示的次方．
3. 对正整数，表示集合．
   
   

代数组

1. （第1天第1题） 求所有函数：，使得对任意，都有

   
2. 求所有函数：，使得存在，满足对于任意，都有

   
3. 求所有函数：，使得对任意，都有

   
4. 求所有函数：，使得对任意，都有

   
5. （第2天第3题） 求所有函数：，使得对任意，都有

   

组合组

1. 求所有正整数，使得存在函数：，满足对任意，都有，其中表示满足的．
2. （第1天第2题） 定义集合为集合的子集构成的集合．求所有函数：，满足对任意的子集和，都有
3. （第2天第2题） 设为集合的一个排列．称数对为逆序的，如果，且．设为中逆序对的个数．求证：

   并求出等号成立条件．

数论组

1. 求所有函数：，使得对任意正整数，，都有，且．
2. （第2天第1题） 给定正整数．求所有函数：，使得对任意，都有
3. 求所有函数：，使得对任意整数，，均为素数．
4. 求所有函数：，同时满足如下条件：

• ；
• 存在定值，使得对任意，都有；
• 对任意，，，均为完全平方数．

5. （第1天第3题） 求所有函数：，使得对任意，都有