赛题翻译
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2022年美国初中圣诞数学奥林匹克
公众号原标题：2022年美国初中圣诞数学奥林匹克——中文翻译
这是aops上圣诞节讨论组举办的一系列比赛之一，CIME是AIME的模拟赛，CAMO是USAMO的模拟赛，CJMO是USAJMO的模拟赛.
CAMO试题见昨天的文章：2022年美国第三届圣诞数学奥林匹克——中文翻译
第一天
记为不小于的最小整数．是否存在两个相异实数和，同时满足以下三个条件：
和均大于； 和均不为整数； 对任意正整数，均为完全平方数．
（同CAMO第1题） 锐角的垂心为，为的中点，为在上的垂足．点满足凸四边形为平行四边形，以为圆心，且过点、的圆和再次交于点，和再次交于点．求证：、、三点共线． 正整数满足：能将正整数集划分为无穷多个互不相交的集合，每个集合均为的形式，其中为正整数．求证：能将正有理数集划分为无穷多个互不相交的集合，每个集合均为的形式，其中为正有理数．
第二天
设和为正整数，．对两个相异整数和，记为满足，但的唯一整数．给定整数集，若对中的两个相异元素的所有组合，至多有个不同的取值，中的元素至多有多少个？ 求所有函数：，使得对于任意实数和，都有 （同CAMO第5题） 证明或否定如下命题：对任意正整数，都有 
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