2023年日本IMO国家队选拔考试

\documentclass[openany]{ctexbook}\usepackage[article]{pxxbook}\usepackage{geometry}\geometry{a6paper,left=1cm,right=1cm,top=0.5cm,bottom=0.8cm}\usepackage{graphicx} {\theoremstyle{plain}\theoremseparator{.}\theorembodyfont{\zihao{5}\songti}\newtheorem{ex}{}}\begin{document}\setDOCadd{../../}\section*{2023年日本IMO国家队选拔考试}\flushright 程国根\quad 译\ex 设$n$是一个正整数，且至少有$4$个正约数，记$d(n)$为$n$的正约数个数．求$n$的所有可能值，使得存在一个共$d(n)-1$项的等差数列$a_{1},a_{2},\cdots,a_{d(n)-1}$，满足条件：对任意整数$1\le i<j\le d(n)-1$，都有$\gcd(a_{i},n)\neq \gcd(a_{j},n)$．\vfill \ex 将$2023$个单位正方形排列成下图形式，最多能将多少个这样的形状（可以旋转）不重叠地放入一个一个$2023\times 2023$的方格网中？\centering\includegraphics[scale=0.2]{2023 Japan TST P2.png}\vfill \ex 2022年IMO预选题A5\vfill \ex 2022年IMO预选题G2\vfill \ex 2022年IMO预选题A6\vfill \ex 2022年IMO预选题N5\vfill \ex 2022年IMO预选题C1\vfill \ex A和B在黑板上进行一个游戏．起初，给定一个正实数$x$．A选取一个不小于$7$的素数，然后B选取两个非负实数$r_{1}$和$r_{2}$，接着A选取两个整数$s$和$t$，使得$r_{1}<s<r_{1}+xp$，$r_{2}<t<r_{2}+xp$，并在黑板上按顺序写下$0,s,t,st$除以$p$的余数．之后，A可以不断重复以下三个操作之一：\begin{itemize}  \item 选取一个$1$到$p-1$之间的整数$m$，并将黑板上的四个数全部改为加上$m$后除以$p$的余数；  \item 选取一个$2$到$p-1$之间的整数$n$，并将黑板上的四个数全部改为乘上$n$后除以$p$的余数；  \item 将黑板上的四个数全部改为平方后除以$p$的余数，若黑板上的四个数中至少有一个$0$，则无法进行此操作．\end{itemize}A的目标是将黑板上的四个数变为$0,2,3,6$（按照顺序排列）．然而，若不存在满足$r_{1}<s<r_{1}+xp$和$r_{2}<t<r_{2}+xp$的整数$s,t$，则A无法达到目标．求$x$的最大可能值，使得无论A如何操作，B都能阻止A达到目标．\vfill \ex 2022年IMO预选题G6\vfill \newpage\ex 2022年IMO预选题A2\vfill \ex $\triangle ABC$为锐角三角形，点$P$在三角形的内部（不包含边界），且$AP$和$BC$不垂直．设点$X$、点$Y$分别是点$P$关于$AB$、$AC$的对称点，$\omega$为$\triangle AXY$的外接圆．点$Q$在三角形的内部（不包含边界），且满足$\angle QBC=\angle CAP$，$\angle QCB=\angle BAP$．直线$AQ$和$\omega$交于点$R$（异于$A$、$Q$）．求证：$\triangle ABC$的外接圆、$\triangle PQR$的外接圆、$\omega$，这三圆共点．\vfill \ex 鼹鼠王国一共有$2023$个城市，在不同的城市之间有一些双向隧道连接，两个城市间至多有一条隧道．此外，可以通过若干条隧道在任意两个城市间进行旅行．称一对不同的城市$\{A,B\}$是好的，如果对任意不同于$A,B$的城市$C$，从$C$到$A$的任意一条最短路线（即经过隧道条数最少的路线）与从$C$到$B$的任意最短路线都没有公共隧道．求好的城市对的个数的第二大可能值．注意到$\{A,B\}$和$\{B,A\}$是同一个城市对．\vfill \end{document}