一道不等式的若干推广

《命题人讲座——代数不等式》中有一道例题：

正实数，，满足．证明：

该不等式可加强为：

正实数，，满足．证明：

证明：

不等式等价于

注意到

只需证

由三元均值不等式即证．

此加强可推广至元．

正实数，，，满足．证明：

证明方法和上面是一样的．

如果将平方和改为立方和，则此结论对较小的不成立．事实上，有如下结论：

正整数，正实数，，，满足．证明：

（龚固）

此结论留给读者自行证明．

从另一角度出发，可以对开始不等式的四元形式进行加强．

正实数，，，满足．求证：

（陈计）

此不等式形式十分简洁，但证明难度很大．

如果直接对不等式右边使用均值不等式，进行加强，可以得到：

此结论不成立，一个反例为．

事实上，我们有以下结论：

正实数，，，满足．求证：

此不等式的取等条件较为奇怪（就是上面的反例）．这里提供一个证明思路：

设，．

可以先证：．

于是只需证：．

求导即证．

对常数进行简单修改，可以加强为以下形式简洁的元不等式．

正实数，，，满足．求证：

最后这题我还没有太好的想法，欢迎读者来稿进行交流．