一道因看错题目产生的好题

2023年北方希望之星数学邀请赛第1题如下：

设正实数满足：（1）对于，有；（2）对，有．求的最大值．

本题非常简单，可设，于是，，，．要求的最大值．

利用局部不等式，可得，对求和即可．

可以自己思考：为什么不对求和，或者对全体求和？

取最大值时，依次为

我将本题放在了本周的预赛模拟卷中，一学生在做的时候，将条件（2）看成了“对，”（即多了一个的限制），导致没有做出．

这样改完后，题目难度有所提高，可作为一道联赛第一题，这里写一个我的解答：

先作同样的换元，题目变为：

正实数满足：对于，有（1）；（2），这里．求的最大值．

来猜一下取等：首先还是把乘积尽可能取到最大值，但由于，故我们将取到，依次得到的取值如下：

此时．下证．

（1）考虑：

，，，于是

（2）考虑：

（3）考虑：

，，，于是

（i）时，

（ii）时，

（iii）时，，

相加即证．