2023年越南国家队选拔考试

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\section*{2023年越南国家队选拔考试——中文翻译}
\section*{第一天}
\href{https://artofproblemsolving.com/community/c6h3051852p27497493}{\bf 1.}一个学校里有$A$和$B$两个班，分别有$m$和$n$名学生．两个班的学生围成一圈，然后每个学生会得到一些糖果，糖果的数量等于该学生左边连续的同班同学的个数（若左边不为同班同学，则获得$0$颗糖果）．分发完糖果后，老师将所有学生进行分组，获得糖果数相同的学生被分到同一组，不同组的学生获得的糖果数不同．
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
\item 一个小组最多可以有多少个学生？
\item 除未获得糖果多小组外，一个小组最多可以有多少个学生？
\end{enumerate}
\href{https://artofproblemsolving.com/community/c6h3051851p27497480}{\bf 2.}给定三个函数$$P(x) = (x^2-1)^{2023}, Q(x) = (2x+1)^{14}, R(x) = \left(2x+1+\frac 2x \right)^{34}.$$
起初，选取其中两个函数构成一个集合，然后对此集合进行一系列操作，每次可以进行的操作如下：
\begin{itemize}
\item 选取两个函数$p,q\in S$，将$p+q,p-q,pq$之一加入$S$中；
\item 选取一个函数$p\in S$，将$p^{k}$加入$S$中，其中$k$为任意正整数；
\item 选取一个函数$p\in S$和一个实数$t$，将$p+t,p-t,pt$之一加入$S$中．
\end{itemize}
求证：不论起初$S$中的两个函数如何选择，都无法在有限次操作后，将第三个函数也加入$S$中．
\href{https://artofproblemsolving.com/community/c6h3051855p27497504}{\bf 3.}设$\triangle ABC$为不等边的锐角三角形，外接圆为$\odot O$．$BE,CF$为$\triangle ABC$的两条高，垂心为$H$．$M$为$AH$中点，点$K$在$EF$上，且满足$HK\perp EF$．一条不过点$A$且平行于$BC$的直线分别交$\odot O$上的劣弧$AB,AC$于点$P,Q$．求证：$(CQE)$在点$E$处的切线，$(BPF)$在点$F$处的切线，以及$MK$，这三线共点．
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\section*{2023年越南国家队选拔考试——中文翻译}
\section*{第二天}
\href{https://artofproblemsolving.com/community/c6h3052608p27506245}{\bf 4.}给定两个互质的正整数$a$和$b$，其中$b$为奇数，$a>2$．数列$\{x_{n}\}$定义如下：$x_{0}=0$，$x_{1}=a$，对任意$n\ge 1$，$x_{n+2}=ax_{n+1}+bx_{n}$．求证：
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
\item 若$a$为偶数，则不存在正整数$m,n,p$，使得$\displaystyle\frac{x_{m}}{x_{n}x_{p}}$为正整数．
\item 若$a$为奇数，则不存在正整数$m,n,p$，使得$mnp$为偶数，且$\displaystyle\frac{x_{m}}{x_{n}x_{p}}$为完全平方数．
\end{enumerate}
\href{https://artofproblemsolving.com/community/c6h3052614p27506327}{\bf 5.}在凸四边形$ABCD$中，$\angle B<\angle A<90^{\circ}$．设$I$为$AB$的中点，$S$为$AD$和$BC$交点．$R$为$\triangle SAB$内一个动点，满足$\angle ASR=\angle BSR$．在直线$AR,BR$上分别取点$E,F$，使得$BE,AF$均和$RS$平行．设直线$EF$和$\triangle SAB$的外接圆交于点$H,K$．在线段$AB$上取点$M,N$，使得$\angle AHM=\angle BHI$，$\angle BKN=\angle AKI$．
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
\item 求证：$\triangle SMN$的外心$J$在一条定直线上．
\item 在$BE,AF$上分别取点$P,Q$，使得$CP$平行于$SE$，$DQ$平行于$SF$．直线$SE,SF$和圆$(SAB)$分别交于点$U,V$，设$AU$和$BV$交于点$G$．求证：$\triangle GPQ$中顶点$G$对应的中线过一定点．
\end{enumerate}
\href{https://artofproblemsolving.com/community/c6h3052613p27506296}{\bf 6.}设整数$n\ge 3$，$S$为一个$n$元集合．求最大的整数$k_{n}$，满足：任取$k_{n}$个$S$的三元子集，都存在一种对$S$的元素二染色的方法，使得所选的三元子集均为单色的．
\end{document}