八年级组

第一天

1. Oleksiy在棋盘的每一格中各写入一个正整数．对于每一对相邻的格子，Fedir写下它们内数字的积，并将所有积相加．而Oleksiy则写下每一对相邻格子内数字的和，并将所有和相乘．结果发现这两个数的个位数字都是．证明至少有一个人算错了．
   例如，对于的正方形，给出数字排列如下．则Fedir写下的数字为：，它们的和的个位数字为；Oleksiy写下的数字为：，它们的积的个位数字为．

2. 某个国家中举办了一场网球单循环比赛（每个人正好与所有其他人各打一次）．获胜者得分，失败者得分，没有平局．在比赛结束后，Oleksiy看到了每个参赛选手的得分，以及整个比赛的赛程安排，其中显示了每场比赛的对手，但没有显示胜利者．他可以按任意顺序选择比赛并尝试猜出胜者，此后会告知他是否猜对．证明：Oleksiy可以采取某种策略，使他保证能够猜对超过半数的比赛胜利者．

3. 正整数，满足

   

   求证：．
   注：表示的小数部分．例如：．

4. 在菱形所在平面内取一点，使得，且三角形 和 的外接圆相切．证明：到菱形两条对角线的距离相等．

第二天

5. 是否存在个不全相等的实数，使得每一个数都等于其余个数的平方和？

6. 凸五边形满足，，．求证：．

7. 某国有个机场，其中，一些机场之间有双向航班．每天政府会关闭一个出发航班数量最多的机场。这个过程最多可以进行多少天？

8. 给定一个元整数集，对于某个正整数，这些整数模的余数互不相同．证明：对于任意，都可以将这个集合划分成个非空子集，使得每个子集中元素的和模的余数互不相同．

九年级组

第一天

1. 有个实数排在一个圆周上．已知对于任意四个按顺序排列在圆周上的实数 ，都有．求的取值，使得所有圆周上的数字都相等．

2. 正整数满足：对任意，都有能被整除，其中．求的最大可能值．

3. 锐角的外接圆为．在上取点，在上取点，在上取点，使得．求证：直线共点或平行．

4. 求最小的实数，使得对任意正整数，都有

   

   注：表示的小数部分．例如：．

第二天

5. （同八年级组第5题）是否存在个不全相等的实数，使得每一个数都等于其余个数的平方和？

6. 点在内部，满足．交于点，交于点．点分别在线段上，满足，．为中点，求证：．

7. 给定个不同的正整数．如果其中两个整数之和是的非负整数次幂，则称这一对整数是优美的．对于任意的，求优美数对个数的最大可能值．

8. 如果存在唯一的方式将个节点分成对，使得每一对中的两个节点之间有边相连，则在这样一个图中，边数可能的最大值是多少？

十年级组

第一天

1. 求所有正整数，使得存在连续的个正整数的乘积的个位数字为．

2. 在一个的矩形棋盘上，两个人轮流着给未被涂色的格子涂色．第一个人用黄色，第二个人用蓝色．当所有格子都被涂色时，涂色过程结束．一个连通的格子序列是指这样一串格子：其中每两个相邻的格子有一个公共的边（且序列中所有格子都不同）．考虑所有可能的黄色连通格子序列．第一个玩家的成绩是最长的黄色连通格子序列的长度，第一个玩家的目标是使自己的成绩尽可能大，第二个玩家的目标则是尽可能地减小第一个玩家的成绩．证明：如果每个玩家都试图达到自己的目标，则第一个玩家的成绩不会超过．

3. 设是三角形的内心，是其外接圆上弧 上的任意一点．在三角形的外接圆于点处的切线上取点和，满足且 ．证明：三角形的外接圆与圆 相切．

4. 设无穷实数列的每一项均在内．定义无穷正整数列如下：，对于，为满足的最小正整数 ．证明：对于任意的，都有 ．

第二天

5. （同八年级组第6题）凸五边形满足，，．求证：．

6. 设、和为整系数多项式，满足．令和分别为和的系数的绝对值中的最大值．那么是否总是成立？

7. 已知个不同的正整数．对于其中任意一对，Vlada在黑板上写下了的最大幂次，该幂次能够整除．Vlada最多能写下多少个不同的的幂次？

8. 考虑一个有个节点的完全图，它的边被染成一些不同的颜色．如果我们能够将所有节点分成对，使得连接同一对中的节点的条边的颜色恰好为种，则称这个图是-好的。那么这个图是否可能既是-好的又是-好的，但不是-好的？

十一年级组

第一天

1. 集合包含个不小于的正整数．已知对于任意的不同的，均是的倍数．的最大可能值是多少？

2. 在平面上选择个点，，，，使得它们中任意三个不共线．考虑所有由不同的三个点、、组成的．其中最多有多少个角是直角？

3. 在四边形中，．设，，．设是三角形的中位线，且平行于．证明：由直线、、所围成的三角形的外接圆与由直线、、所围成的三角形的外接圆相切．

4. 求所有函数：，使得对任意实数，，都有

   

第二天

5. 如果一个多项式同时具有正系数和负系数（不被视为正或负），则称其为“混合多项式”．两个混合多项式的乘积是否总是混合多项式？

6. 设点为的中线的中点．点在上，满足，；点在上，满足，．求证：四点共圆．

7. 考虑正整数的所有约数．对，称约数是好的，如果不能被整除．求所有的，使得其好的约数个数小于其不同的质因子个数．

8. 某个国家有个城市，每两个城市之间都通过铁路、航空或公路这三种交通方式中的一种来进行双向连接．一个旅游者到达了这个国家，并掌握了整个交通方案．他选择了一种交通方式的旅行票，并选择了出发旅行的城市．他希望尽可能多地访问城市，但只能使用指定类型的交通方式的票．无论如何，该旅游者总能访问至少个城市，请问的最大值是多少？在旅途中，他可以回到已经访问过的城市．