2022年普林斯顿数学竞赛（PUMaC）代数组

\section*{2022年普林斯顿数学竞赛（代数A组）}\flushright 程国根译\ex 给定多项式$f$和$g$，满足对任意实数$x$，都有$f(x)\ge g(x)$．$f$和$g$的分隔线是指直线$h(x)=mx+k$，满足对任意实数$x$，都有$f(x)\ge h(x)\ge g(x)$．考虑$f(x)=x^{2}-2x+5$和$g(x)=1-x^{2}$的所有分隔线组成的集合，集合中所有直线的斜率范围为闭区间$[a,b]$．求$a^{4}+b^{4}$的值．\vfill\ex 设$P(x,y)$为关于$x,y$的实系数非零多项式，且对任意实数$a$，都有$P(\lfloor 2a\rfloor,\lfloor 3a\rfloor)=0$．若$P$的次数取最小可能值，且其中单项式$y$的系数为$4$．求$P$中$x^{2}y^{2}$项的系数．\vfill\ex 求方程组的所有实数解$(x,y)$：$\begin{cases}\sin(x^{2}-y)=0\\|x|+|y|=2\pi\end{cases}$．\vfill\ex 已知在复平面中，$C=\{z\mid (z+1)^{2}=az,a\in[-10,3]\}$的图像是两条恰交于一点的曲线之并．若两条曲线的长度之和为$\ell$，求$\lfloor\ell\rfloor$．\vfill\ex 非负实数$x,y,z$满足方程$$\sqrt{xyz}-\sqrt{(1-x)(1-y)z}-\sqrt{(1-x)y(1-z)}-\sqrt{x(1-y)(1-z)}=-\frac{1}{2}.$$记$\sqrt{xy}$的最大可能值为$\frac{a+\sqrt{b}}{c}$，其中$a,b,c$为正整数，且$b$无平方因子．求$a^{2}+b^{2}+c^{2}$的值．\vfill\ex 正实数$x,y,z$满足$4x^{2}-2xy+y^{2}=64$，$y^{2}-3yz+3z^{2}=36$，$4x^{2}+3z^{2}=49$．若$2xy+yz-4zx$的最大值能表示为$\sqrt{n}$的形式，其中$n$为正整数，求$n$的值．\vfill\ex 对正整数$n$，设$a_{n}=\lfloor \sqrt[3]n+\frac{1}{2}\rfloor$．给定正整数$N$，记$\mathcal{F}_{N}=\{n\mid a_{n}\le N\}$，$S_{N}=\sum\limits_{n\in\mathcal{F}_{N}}\frac{1}{a_{n}^{2}}$．若当$N$趋于无穷时，$S_{N}-3N$的极限为$\frac{a\pi^{2}}{b}$的形式，其中$a,b$为互质的正整数，求$a+b$的值．（已知$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}$）\vfill\ex 已知$f$按照如下规则将一个数列$\{a_{n}\}_{n=0}^{\infty}$变为另一个数列$\{b_{n}\}_{n=0}^{\infty}$：对任意$n\ge 0$，$b_{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}\binom{n}{k}$．斐波那契数列数列$\{F_{n}\}_{n=0}^{\infty}$定义如下：$F_{0}=F_{1}=1$，对任意$n\ge 0$，$F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$．若将$\{F_{n}\}_{n=0}^{\infty}$经过$2022$次$f$作用后变为数列$\{c_{n}\}_{n=0}^{\infty}$．求$c_{5}$模$1000$的余数．\vfill\newpage\section*{2022年普林斯顿数学竞赛（代数B组）}\subsection*{注：代数B组的第3题至第8题分别为A组的第1题至第6题．}\flushright 程国根译\setcounter{ex}{0}\ex 当$(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4})$取遍$(1,2,3,4)$的所有排列时，记$a_{1}^{-a_{2}^{a_{3}^{a_{4}}}}$的所有取值之和为$q$．求$\lfloor q\rfloor$的值．\ex 称一对实系数二次多项式$(f,g)$是\textbf{愚蠢的}，如果对任意实数$x$，都有$f(g(x))=f(x)\cdot g(x)$．对于一对愚蠢的$(f,g)$，在小于$2023$的所有正整数中，有多少个正整数可能为$g(x)$的一个根？