一道用数论估计方法做的组合几何题

题目：

在平面上是否存在一个有限点集，使得其中至少有组点构成调和四边形的四个顶点？

分析：

这是一道很有意思的问题，组合几何题往往几何成分偏少，这题则很罕见地出现了调和四边形这一概念。所以首先考虑如何将其构造出来，很自然想到构造多组调和线束和同一个圆相交，那么只需要共线的多点产生尽可能多组调和点列。

设点，单位圆，点（），连接和交于点（异于点），此时问题变为：

是否存在正整数，使得中至少存在组调和点列？

问题一下子清晰了起来，我们先探究四点能构成调和点列的充分条件。

先将这四点平移至，其中．于是

这里不需要求出方程的通解，找一些特殊解即可．

容易发现：，，是一组解．

于是，对任意正整数和，，；，都构成一组调和点列．

进一步地，为了不产生重复解，可令为素数，且互质．

接下来，对于固定的素数，来求上述调和点列的组数：

先固定，任取正整数和，使得最大数

共有

组解．

再让任取和互质的数，且，设组数为，则

于是

熟知全体素数的倒数和发散，于是当足够大时，总有

即，于是完成了证明．

注：

上述过程主要呈现思路，其中细节请读者自行完成。