用数学归纳法证明一道俄罗斯不等式

假设$0\le x_{i}\le 1$，求证：$\prod_{i=1}^{n}(1-x_{i}x_{i+1}+x_{i+1}^{2})\ge 1$，其中$x_{n+1}=x_{1}$．\begin{analysis}考虑到变量之间没有联系，待证式左边为求积形式，可以尝试用数学归纳法证明．\end{analysis}\begin{proof}对$n$归纳，$n=1$时为恒等式．假设结论对$n$成立，即$$\prod_{i=1}^{n}(1-x_{i}x_{i+1}+x_{i+1}^{2})=\prod_{i=1}^{n-1}(1-x_{i}x_{i+1}+x_{i+1}^{2})\cdot(1-x_{n}x_{1}+x_{1}^{2})\ge 1$$对于$n+1$的情况，要证明：$$\begin{aligned}&\prod_{i=1}^{n+1}(1-x_{i}x_{i+1}+x_{i+1}^{2})\ge 1\\\iff&\prod_{i=1}^{n-1}(1-x_{i}x_{i+1}+x_{i+1}^{2})\cdot(1-x_{n}x_{n+1}+x_{n+1}^{2})\cdot(1-x_{n+1}x_{1}+x_{1}^{2})\ge 1\end{aligned}$$只需证明：$$(1-x_{n}x_{n+1}+x_{n+1}^{2})\cdot(1-x_{n+1}x_{1}+x_{1}^{2})\ge 1-x_{n}x_{1}+x_{1}^{2}$$重设$x_{1},x_{n},x_{n+1}$为$a,b,c$，即证：对$a,b,c\in[0,1]$，有$$(1-bc+c^{2})(1-ca+a^{2})\ge 1-ab+a^{2}\iff(1-ac)(a-c)(b-c)\ge 0$$由$a,c\in[0,1]$知$1-ac\ge 0$，故只需证：$(a-c)(b-c)\ge 0$．这不一定成立，但可以在开始时，不妨设$c=x_{n+1}=\min\limits_{1\le i\le n+1}\{x_{i}\}$．这样，$x_{1}\ge x_{n+1}$，$x_{n}\ge x_{n+1}$，$(a-c)(b-c)\ge 0$．由数学归纳法即证．\end{proof}