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2024年北马其顿数学奥林匹克
公众号原标题：2024年北马其顿数学奥林匹克——中文翻译
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2024年北马其顿数学奥林匹克
程国根 译
1. 设$M$为正实数．求最小的正实数$k$，使得对任意整数$n>M$，区间$(n,kn]$内都至少有一个$2$的整数次幂．
2. 在四边形$ABCD$中，$AB>AD$．设$\triangle ABC$的内切圆$k_{1}$的圆心为$O_{1}$，$\triangle ADC$的内切圆$k_{2}$的圆心为$O_{2}$，两内切圆在$AC$上有公共切点．设$k_{1}$和$AB$切于点$M$，$k_{2}$和$AD$切于点$L$．求证：$BD,LM,O_{1}O_{2}$三线共点．
3. 求所有函数$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，使得对任意实数$x,y$，都有$$f(f(x+y))=f(x+y)+f(x)f(y)-xy.$$
4. 两个盒子中分别有$1994$和$2024$颗弹珠．Spiro和Cvetko进行以下游戏：从Spiro开始，两人轮流从其中一个盒子中取出一些弹珠，使该回合取出的弹珠数是另一个盒子中当前弹珠数的约数．若在某人的回合结束时，两个盒子都是空的，则其获胜．谁有必胜策略？
5. 设函数$f:\mathbb{N}_{+}\to\mathbb{N}_{+}\setminus\{1\}$满足如下条件：
- 对任意$a\in\mathbb{N}_{+}$，都有$f(a+f(a))\le 2a+3$；
- 对任意$a,b\in\mathbb{N}_{+}$，都有$f(f(a)+b)=f(a+f(b))$．
对任意$a\in\mathbb{N}_{+}$，定义$g(a)$为$f(a)$的最大素因子．求证：存在整数$a>b>2024$，使得$b\mid a$，且$g(a)=g(b)$．
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\section*{2024年北马其顿数学奥林匹克}\begin{flushright} 程国根\quad 译\end{flushright}\ex 设$M$为正实数．求最小的正实数$k$，使得对任意整数$n>M$，区间$(n,kn]$内都至少有一个$2$的整数次幂．\vfill\ex 在四边形$ABCD$中，$AB>AD$．设$\triangle ABC$的内切圆$k_{1}$的圆心为$O_{1}$，$\triangle ADC$的内切圆$k_{2}$的圆心为$O_{2}$，两内切圆在$AC$上有公共切点．设$k_{1}$和$AB$切于点$M$，$k_{2}$和$AD$切于点$L$．求证：$BD,LM,O_{1}O_{2}$三线共点．\vfill\ex 求所有函数$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，使得对任意实数$x,y$，都有$$f(f(x+y))=f(x+y)+f(x)f(y)-xy.$$\vfill\ex 两个盒子中分别有$1994$和$2024$颗弹珠．Spiro和Cvetko进行以下游戏：从Spiro开始，两人轮流从其中一个盒子中取出一些弹珠，使该回合取出的弹珠数是另一个盒子中当前弹珠数的约数．若在某人的回合结束时，两个盒子都是空的，则其获胜．谁有必胜策略？\vfill\ex 设函数$f:\mathbb{N}_{+}\to\mathbb{N}_{+}\setminus\{1\}$满足如下条件：\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]\item 对任意$a\in\mathbb{N}_{+}$，都有$f(a+f(a))\le 2a+3$；\item 对任意$a,b\in\mathbb{N}_{+}$，都有$f(f(a)+b)=f(a+f(b))$．\end{enumerate}对任意$a\in\mathbb{N}_{+}$，定义$g(a)$为$f(a)$的最大素因子．求证：存在整数$a>b>2024$，使得$b\mid a$，且$g(a)=g(b)$．\vfill
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