2026年中国女子数学奥林匹克第一天试题解答

手稿

2026CGMO day1 解答.pdf

第1题

题目

称正整数 是好的，如果其质因子均不超过 ．证明：存在 个互质的好数，使得其中任意两个之差也为好数．

解答

取奇质数，满足，令 即可．验证如下：

显然 两两互质且都是好数．

任取 为其中两个质数，则 ．若素数

则 或 ．前者有

后者因 为偶数，

其中最后一个不等式由

得到．故任意两数之差也是好数．

第2题

题目

给定正整数 ，实数 满足

对 ，记

求 的最大值．

解答

易验证：

各权 ，故

取等：

第3题

题目

在 中，，是 关于 的对称点．点 在 的延长线上，的平分线交 于点 ．边 上的点 满足

证明：

作图

解答

设 的外角平分线交直线 于 ．则

故 在以 为定点、比值 的阿氏圆 上；为其直径，设圆心为 ．

由知．故，由阿氏圆的性质：

又

所以

从而，因此

证毕．

第4题

题目

设整数 ．在正 边形的 个顶点上各有一个人，一次交换指相邻两个顶点上的人互换位置，其余 个人不动．经过 次交换后，每个人都到过所有顶点，且最终回到初始状态．求 的最小值．

解答

把交换过程画成圆柱上的轨迹．设第 个人的净绕行数为 （规定正方向）．则由每一次操作位移和为知：

• 若 ，则第人至少移动 次；
• 若 ，遍历全部顶点再返回，至少移动 次．

此外，任意人 的轨迹至少相交次，即人至少直接交换这么多次．

若 为偶数，每个人至少移动 次，故即．

若为奇数，记．记中共有个，令

于是，且．

（1）时，分的奇偶讨论可得：．

（2）时，．若，则

若，其余个恰为个和个．正负两类之间至少有次交换；又零绕行者至少参加 次交换，故

（3）时，．若，则

若时，只能是个，个，个（或全体变号）．于是

故总有．

构造

若满足 ，在圆柱上取 条一般位置的单调轨迹，使第 条净绕行 圈．按交点由下至上依次执行交换操作．任意条轨迹恰相交 次，故总交换数为．

偶时，取为个，个；

奇时，取为个，个，个．

综上