2023年莫斯科数学奥林匹克砝码题解答

感谢苏淳教授的翻译，这里写一下十一年级组最后两题我的解答。

今有一架绝对精准的双盘天平和个砝码，这些砝码的重量分别为,,,,,．证明：可以从中选出个砝码，每端放个，使得天平平衡．

证明：

熟知，现在我们找更多类似式子．

若正整数满足

则有

即．下面对枚举：

时，，，；

时，，，；

时，，，或，；

时，，，；

时，，，或，．

由上可得：

将上面三式左右两边的数分别作为天平两端的砝码重量即可．

分别以表示凸多面体的顶点数目，棱数和具有公共顶点的三角形面的最大数目．证明：．
例如在四面体中，，，，满足等式；而对三棱柱（，，）和立方体（，，）则成立严格不等式．

证明：

考虑凸多面体的一个顶点，设其度数为，再设与其相邻的顶点分别为，它们的度分别为．

考虑有公共顶点的三角形面，每个面除外，还有和（）两个顶点，计算和的度时，边会重复计算一次，其余边不重复，故可以由此对三角形面数进行计数．我们有

其中为有公共顶点的三角形面数．

由均值不等式：

即

将上面的顶点改为凸多边形的任意一个顶点（），共得到个不等式，并将这个不等式全部相加得：