当斐波那契数列遇到切比雪夫多项式

龚固老师今天发了一篇文章：当斐波那契数列遇到不定方程．

我也凑个热闹，发个斐波那契数列与切比雪夫多项式相联系的练习题．题目比较简单，适合用来训练数学归纳法、斐波那契数列的性质推导．‍‍‍‍‍‍‍‍

题目：

设为切比雪夫多项式，即，，．为斐波那契数列，即，．求证：对任意，

分析：

即然两者都有非常明显的递推关系，很容易想到用数学归纳法进行证明．

证明：

（1）和时，容易验证结论成立．

（2）假设时，结论成立．那么时，要证

而由，只需证明：

即证：

由通项公式：，其中，，易证：对任意，都有

于是

因此时，结论也成立．

由数学归纳法知，本题结论成立．