第十二届XMO不等式的推广及证明

第十二届XMO的二试第二题如下：

已知，求

的最大值．（其中）

本题应该是改编自一个很常见的不等式：

设，，求证：

其中．

我们把两题进行统一：

已知，，求

的最大值．（其中）

事实上，令，并由齐次性不妨设中最小值为，就得到了第二题的变形（，不等式左边严格小于右边）．

我们通过构造局部不等式来证明第三题：

首先由齐次性和轮换性，不妨设，再设，记．

于是对，有

对，有

因此，

展开得：

即

因此

设，．

时，开口向上，对称轴为，故在递减，因此最小值为，于是原式不大于，在时，等号成立，故最大值为．

时，在递增，因此最小值为，于是原式不大于，下面我们考虑等号成立条件：

首先有，其次由局部不等式知每个均为或，并且是连续排列，即，，最后还应有

即，同时还应有，注意这个方程组不一定会有整数解（这意味着取最大值时，还可能会有非边界值），感兴趣的读者可以试着求解有整数解时，和需满足的条件．

我们用第三题的结论来解决这道XMO的原题：

解答：

令，，有

等号成立时，，即，于是，．

于是最大值为．

极限情况：

时，令，有，这就证明了：

设，，求证：

其中．