两道高联模拟卷中的离散不等式解答

以下两题分别出自最近的爱尖子和猿辅导高联模拟，两题难度都不大，且风格相似，这里一起写个解答．

1. 已知为整数，且满足，求的最小值．

分析：

主要在于猜取等条件．

由拉格朗日恒等式：

故要使尽可能小，需要尽可能小．

首先考虑所有全部相等，均为，此时有，与是整数矛盾．

其次考虑共有两种取值，且差为或，由知．

答案：

最小值为．

构造：

，且满足所有下标之和为，如，．

证明：

由为正整数知或，于是，即，因此

对从到求和得：

2. 设满足．记

若．求的最小值与最大值．

分析：

最小值和上题处理类似，最大值则需要注意到

再利用进行放缩．

(事实上，只需用到)

答案：

最小值为，最大值为．

构造：

当或其轮换时，取得最小值．

当或其轮换时，取得最大值．

证明：

由知

对从到求和得：

由

及知：

而

（注：此处也可以利用求和得到，但我觉得本题直接用柯西放缩，再利用整数离散性更自然，不需要提前猜答案）

于是

由知，．