利用欧拉分解公式解RMM第一题

2023年罗马尼亚大师赛第一天第1题如下：

求所有质数和正整数，，使得

看到这题的立方和形式，首先想到的是欧拉分解公式：

相关链接：欧拉分解公式的若干应用

我们有

其中为一个正整数，形式较为复杂，在这不考虑。

于是我们将不定方程转化为了“乘积=乘积”的形式，注意到直接对原式进行分解，也能得到“乘积=乘积”的形式，即

这提示我们考虑和的关系：

若，设，则

而

于是

若，则，矛盾，故，代回原方程得，即为完全平方数，矛盾，于是．

又由于为质数，于是，故．

设，即．由知，．

(1)时，，枚举得，；，；，．

(2)时，，于是，，枚举知矛盾．

(3)时，，，矛盾．

(4)时，，于是，，矛盾．

综上，一共组解．