2023TMO代数题解答

感谢王卫华老师翻译了2023台湾数学奥林匹克（TMO）试题，这里给出第四题的证明．‍‍‍‍‍‍‍‍

题目：

为正整数，实数，，，满足：

证明：是的倍数．

分析：

本题方程个数少于未知数个数，考虑使用不等式证明方程组的解恰为不等式的取等条件．

首先取，尝试求出方程的一组解．

考察方程组

显然不全相等，下面考虑其中有两个不同的取值，即有个，个，．方程组变为：

即

由得：

容易求出或．

下面利用平方的非负性来证明，方程组成立时，只能取或．

证明：

考虑．首先．

而

于是，方程组成立时，只能取或．设其中有个，个，则

即，于是，证毕．