昨天发的OIMC的初中版，即Online Junior International Mathematical Cup．

第一天

1. 求所有函数：，使得对于任意实数，，都有

   
2. 称整系数多项式为"-好"的，如果和中恰有一个数能被写为两个完全平方数之和．求证：对于任意正整数，存在多项式，使得对任意的，都是"-好"的．是否存在多项式，对于任意，都是"-好"的？
3. Alice有袋硬币（可能为空），依次标记为到．她进行如下的操作：在第次操作中，她列出所有硬币数严格少于第袋（模意义下）但与第袋硬币数之差严格小于的所有袋子．
   如果至少有一个被列出的袋子，Alice则从每个被列出的袋子中拿出一枚硬币，并全部放入第个袋子中．否则，从第个袋子中拿出枚硬币，分别放入其它袋子中（每个袋子放入一枚）．
   如果在某个时间点，Alice无法继续进行移动，则操作终止．问Alice至多能有多少枚硬币，才能使得无论将它们如何分配到个袋子中，操作都会在有限次内终止？

第二天

4. 在中，，，．设为的九点圆圆心，为的中点．求直线和所夹的锐角的度数．
5. 用的砖块来覆盖一个固定的网格多边形．求证：无论如何覆盖，左下角顶点的横、纵坐标之和能被整除的砖块数量为一个常数（由多边形决定）．
6. ，，为正实数，对任意正整数，求证：