一道概率问题的解答

题目：

甲、乙两人进行若干次猜拳，两人约定若某次猜拳后甲累计胜过乙的次数大于猜拳次数的一半，则游戏结束，甲获胜，否则游戏继续进行. 则甲能在有限次猜拳后获胜的概率是______．

解答：

每次猜拳甲胜的概率为，不胜的概率为，最终获胜条件为甲获胜次数减去不胜的次数首次等于．这等价于如下问题：

对一件装备进行强化，初始等级为，每次强化有的概率等级，的概率等级（装备等级可为任意整数）．求能强化到的概率．

我们定义装备的“价值”如下：级装备的价值为．这样初始价值为，每次强化后的期望增加价值为

即每次强化，期望价值不变．

这样在最终停止时，设有的概率等级为，则有的概率等级趋于，于是

即．

注：本题即为一侧吸收壁为的马尔科夫过程，一般情况也可以用此方法解决，关键在于定义合适的“价值”，使得期望不变．当然，用一般的数列递推方法也可以解决，读者不妨自己尝试一下．